Номер 3, страница 31 - гдз по физике 10 класс учебник Казахбаева, Кронгарт

3. При каком угле бросания дальность полета будет наибольшей?

3. При каком угле бросания дальность полета будет наибольшей?

Для определения угла, при котором дальность полета тела будет максимальной, рассмотрим идеализированную физическую модель движения тела, брошенного под углом к горизонту.

Дано:

Тело брошено с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонтальной плоскости.

Ускорение свободного падения — $g$.

Сопротивление воздуха и другие внешние силы (кроме силы тяжести) не учитываются.

Найти:

Угол $\alpha$, при котором дальность полета $L$ максимальна.

Решение:

Движение тела раскладывается на две составляющие: равномерное движение по горизонтали (ось Ox) и равноускоренное движение по вертикали (ось Oy).

Проекции начальной скорости на оси координат:

$v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

Уравнения движения тела во времени $t$:

$x(t) = v_0 t \cos(\alpha)$

$y(t) = v_0 t \sin(\alpha) - \frac{gt^2}{2}$

Дальность полета $L$ — это горизонтальное расстояние, которое пролетит тело за всё время полета $T$. Время полета $T$ определяется из условия, что в конце полета тело вернется на начальную высоту, то есть $y(T) = 0$.

$v_0 T \sin(\alpha) - \frac{gT^2}{2} = 0$

$T \left( v_0 \sin(\alpha) - \frac{gT}{2} \right) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $T_1 = 0$ (момент броска) и $T_2 = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$ (полное время полета).

Теперь подставим время полета $T_2$ в уравнение для горизонтальной координаты $x(t)$:

$L = x(T_2) = v_0 \cos(\alpha) \cdot \left( \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g} \right) = \frac{v_0^2 \cdot 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{g}$

Применяя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$, получаем выражение для дальности полета:

$L(\alpha) = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Из этой формулы видно, что при фиксированной начальной скорости $v_0$ и ускорении $g$, дальность полета $L$ является функцией только угла бросания $\alpha$. Для нахождения максимальной дальности необходимо найти максимум функции $\sin(2\alpha)$.

Максимальное значение функции синуса равно 1.

$\sin(2\alpha)_{max} = 1$

Это достигается, когда аргумент синуса равен $90^\circ$ (или $\pi/2$ радиан).

$2\alpha = 90^\circ$

Следовательно, угол, при котором достигается максимальная дальность:

$\alpha = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Стоит подчеркнуть, что данный вывод справедлив для идеальных условий (в вакууме). В реальных условиях, где присутствует сопротивление воздуха, оптимальный угол для достижения максимальной дальности будет меньше $45^\circ$ и зависит от формы тела и его начальной скорости.

Ответ: В идеализированных условиях (без учета сопротивления воздуха) наибольшая дальность полета достигается при угле бросания $45^\circ$.