Номер 5, страница 28 - гдз по физике 10 класс учебник Казахбаева, Кронгарт

5. Некая планета имеет такую же массу, как и Земля, но ее радиус в два раза меньше радиуса Земли. Чему равно ускорение свободного падения на поверхности планеты и на высоте 3200 км от ее поверхности?

Дано:

$M_п = M_З$ (масса планеты равна массе Земли)

$R_п = \frac{1}{2} R_З$ (радиус планеты в 2 раза меньше радиуса Земли)

$h = 3200$ км (высота над поверхностью)

Справочные данные:

$g_З \approx 9.8$ м/с$^2$ (ускорение свободного падения на поверхности Земли)

$R_З \approx 6400$ км (средний радиус Земли)

$h = 3200 \text{ км} = 3200 \cdot 10^3 \text{ м} = 3.2 \cdot 10^6 \text{ м}$

$R_З \approx 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$g_п$ — ускорение свободного падения на поверхности планеты

$g_h$ — ускорение свободного падения на высоте $h$

Решение:

Ускорение свободного падения, создаваемое телом массы $M$ на расстоянии $r$ от его центра, вычисляется по формуле закона всемирного тяготения:

$g = G\frac{M}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная.

Ускорение свободного падения на поверхности планеты

На поверхности планеты расстояние $r$ от центра равно ее радиусу $R_п$. Ускорение свободного падения $g_п$ на поверхности определяется как:

$g_п = G\frac{M_п}{R_п^2}$

Согласно условию задачи, $M_п = M_З$ и $R_п = R_З/2$. Подставим эти значения в формулу:

$g_п = G\frac{M_З}{(R_З/2)^2} = G\frac{M_З}{R_З^2/4} = 4 \cdot \left(G\frac{M_З}{R_З^2}\right)$

Выражение в скобках представляет собой ускорение свободного падения на поверхности Земли $g_З$. Таким образом, ускорение на поверхности планеты в 4 раза больше, чем на Земле.

$g_п = 4 \cdot g_З = 4 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 39.2 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение свободного падения на поверхности планеты равно $39.2 \text{ м/с}^2$.

Ускорение свободного падения на высоте 3200 км от ее поверхности

На высоте $h$ расстояние от центра планеты $r$ равно сумме ее радиуса $R_п$ и высоты $h$.

$r = R_п + h$

Найдем радиус планеты, зная, что радиус Земли $R_З \approx 6400$ км:

$R_п = \frac{R_З}{2} = \frac{6400 \text{ км}}{2} = 3200 \text{ км}$

Теперь вычислим расстояние $r$:

$r = R_п + h = 3200 \text{ км} + 3200 \text{ км} = 6400 \text{ км}$

Полученное расстояние равно радиусу Земли ($r=R_З$).

Ускорение свободного падения на высоте $h$ ($g_h$) равно:

$g_h = G\frac{M_п}{r^2}$

Подставим $M_п = M_З$ и $r = R_З$:

$g_h = G\frac{M_З}{R_З^2}$

Эта формула полностью совпадает с формулой для ускорения свободного падения на поверхности Земли $g_З$.

$g_h = g_З \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение свободного падения на высоте 3200 км от поверхности планеты равно $9.8 \text{ м/с}^2$.