Номер 5, страница 27 - гдз по физике 10 класс учебник Казахбаева, Кронгарт

*5. Можно ли создать такой спутник, чтобы он “висел" над одной и той же точкой Земли?

*5. Да, такой спутник создать можно. Такие спутники называются геостационарными, и они уже многие десятилетия успешно используются для телекоммуникаций, метеорологических наблюдений и других целей. Чтобы спутник "висел" над одной и той же точкой земной поверхности, должны быть выполнены четыре условия:

1. Период обращения спутника вокруг Земли должен быть равен периоду вращения Земли вокруг своей оси. Важно использовать сидерические (звёздные) сутки, а не солнечные, так как Земля за сутки совершает один оборот вокруг своей оси относительно далёких звёзд. Этот период составляет примерно 23 часа 56 минут 4 секунды.

2. Направление вращения спутника должно совпадать с направлением вращения Земли (с запада на восток).

3. Орбита спутника должна быть круговой. При эллиптической орбите скорость спутника будет меняться, и он будет то обгонять точку на поверхности, то отставать от неё.

4. Плоскость орбиты спутника должна лежать в плоскости земного экватора. Если это условие не выполнено, спутник будет описывать на небе "восьмёрку" и не будет оставаться неподвижным для земного наблюдателя.

Высоту, на которой должен находиться такой спутник, можно рассчитать.

Дано:

Гравитационная постоянная $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

Масса Земли $M \approx 5.972 \times 10^{24} \text{ кг}$

Период вращения Земли (сидерические сутки) $T = 23 \text{ ч } 56 \text{ мин } 4 \text{ с} = 86164 \text{ с}$

Средний радиус Земли $R_З \approx 6371 \text{ км} = 6.371 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

Высоту геостационарной орбиты над поверхностью Земли $h$.

Решение:

Для движения спутника по круговой орбите необходимо, чтобы сила всемирного тяготения, действующая на него со стороны Земли, была равна центростремительной силе.

$F_г = F_ц$

$ \frac{G M m}{r^2} = m a_ц $

где $M$ – масса Земли, $m$ – масса спутника, $r$ – радиус орбиты (расстояние от центра Земли до спутника), $a_ц$ - центростремительное ускорение. Масса спутника $m$ сокращается.

Центростремительное ускорение можно выразить через угловую скорость $\omega$: $a_ц = \omega^2 r$.

$ \frac{G M}{r^2} = \omega^2 r $

Угловая скорость связана с периодом обращения $T$ формулой $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Подставим это в уравнение:

$ \frac{G M}{r^2} = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r $

Выразим радиус орбиты $r$:

$ r^3 = \frac{G M T^2}{4\pi^2} $

$ r = \sqrt[3]{\frac{G M T^2}{4\pi^2}} $

Подставим числовые значения:

$ r = \sqrt[3]{\frac{(6.674 \times 10^{-11}) \cdot (5.972 \times 10^{24}) \cdot (86164)^2}{4 \cdot (3.14159)^2}} \approx \sqrt[3]{\frac{2.959 \times 10^{24}}{39.478}} \approx \sqrt[3]{7.495 \times 10^{22}} $

$ r \approx 4.215 \times 10^7 \text{ м} \approx 42150 \text{ км} $

Это радиус орбиты, то есть расстояние от центра Земли. Чтобы найти высоту $h$ над поверхностью, нужно вычесть радиус Земли $R_З$:

$ h = r - R_З $

$ h \approx 42150 \text{ км} - 6371 \text{ км} \approx 35779 \text{ км} $

Обычно эту величину округляют до 35800 км.

Ответ: Да, можно. Для этого спутник должен быть выведен на круговую орбиту в плоскости экватора на высоту около 35800 км над поверхностью Земли и двигаться в том же направлении, что и Земля, с периодом обращения, равным звёздным суткам (23 часа 56 минут 4 секунды). Такая орбита называется геостационарной.