Номер 4, страница 28 - гдз по физике 10 класс учебник Казахбаева, Кронгарт

4. На какой высоте от поверхности Земли ускорение свободного падения $g = 1 \text{ м/с}^2$?

4. Дано:

Ускорение свободного падения на высоте $h$: $g_h = 1 \text{ м/с}^2$

Ускорение свободного падения на поверхности Земли (стандартное значение): $g_0 \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Средний радиус Земли: $R_З \approx 6400 \text{ км}$

Перевод в СИ:

$R_З = 6400 \text{ км} = 6.4 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

Высоту от поверхности Земли $h$.

Решение:

Ускорение свободного падения $g$ зависит от массы планеты $M$ и расстояния $r$ от ее центра. На поверхности Земли (где расстояние до центра равно радиусу Земли $R_З$) ускорение свободного падения равно: $g_0 = G \frac{M_З}{R_З^2}$

На высоте $h$ от поверхности расстояние до центра Земли составляет $r = R_З + h$. Ускорение свободного падения на этой высоте будет: $g_h = G \frac{M_З}{(R_З + h)^2}$

Для нахождения искомой высоты $h$ составим отношение ускорений $g_h$ и $g_0$: $\frac{g_h}{g_0} = \frac{G \frac{M_З}{(R_З + h)^2}}{G \frac{M_З}{R_З^2}} = \frac{R_З^2}{(R_З + h)^2} = \left(\frac{R_З}{R_З + h}\right)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $\sqrt{\frac{g_h}{g_0}} = \frac{R_З}{R_З + h}$

Теперь выразим из этого соотношения высоту $h$. Сначала найдем $R_З + h$: $R_З + h = R_З \sqrt{\frac{g_0}{g_h}}$

Отсюда высота $h$ равна: $h = R_З \sqrt{\frac{g_0}{g_h}} - R_З = R_З \left(\sqrt{\frac{g_0}{g_h}} - 1\right)$

Подставим числовые значения: $h = 6.4 \times 10^6 \text{ м} \times \left(\sqrt{\frac{9.8 \text{ м/с}^2}{1 \text{ м/с}^2}} - 1\right) = 6.4 \times 10^6 \times (\sqrt{9.8} - 1)$

Вычислим значение: $\sqrt{9.8} \approx 3.13$$h \approx 6.4 \times 10^6 \times (3.13 - 1) = 6.4 \times 10^6 \times 2.13 = 13.632 \times 10^6 \text{ м}$

Переведем результат в километры: $h \approx 13632 \text{ км}$

Ответ: высота, на которой ускорение свободного падения равно $1 \text{ м/с}^2$, составляет приблизительно $13632 \text{ км}$ от поверхности Земли.