Номер 3, страница 28 - гдз по физике 10 класс учебник Казахбаева, Кронгарт

3. На каком расстоянии от Земли сила всемирного тяготения, действующая на тело, будет в три раза меньше, чем на поверхности Земли? Радиус Земли принять равным 6400 км.

3. Дано:

Отношение сил $F_1 / F_2 = 3$

Радиус Земли $R_З = 6400$ км

Перевод в СИ:

$R_З = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$r$ — расстояние от центра Земли

Решение:

Сила всемирного тяготения, действующая на тело, описывается законом всемирного тяготения Ньютона:

$F = G \frac{M_З m}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, $m$ — масса тела, а $r$ — расстояние от центра Земли до тела.

На поверхности Земли расстояние до центра равно радиусу Земли $R_З$. Обозначим силу на поверхности как $F_1$:

$F_1 = G \frac{M_З m}{R_З^2}$

На некотором расстоянии $r$ от центра Земли сила будет равна $F_2$:

$F_2 = G \frac{M_З m}{r^2}$

По условию задачи, сила на этом расстоянии в три раза меньше, чем на поверхности, то есть $F_1 = 3F_2$ или $\frac{F_1}{F_2} = 3$.

Составим отношение выражений для сил $F_1$ и $F_2$:

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{G \frac{M_З m}{R_З^2}}{G \frac{M_З m}{r^2}} = \frac{r^2}{R_З^2}$

Так как это отношение равно 3, получаем:

$\frac{r^2}{R_З^2} = 3$

Выразим отсюда искомое расстояние $r$:

$r^2 = 3R_З^2$

$r = \sqrt{3R_З^2} = R_З\sqrt{3}$

Подставим известное значение радиуса Земли $R_З = 6400$ км:

$r = 6400 \cdot \sqrt{3} \approx 6400 \cdot 1.732 \approx 11084.8 \text{ км}$

Ответ: расстояние от центра Земли, на котором сила всемирного тяготения будет в три раза меньше, чем на поверхности, составляет приблизительно 11085 км.