Номер 1, страница 31 - гдз по физике 10 класс учебник Казахбаева, Кронгарт

1. По какой траектории движется тело, брошенное под углом к горизонту?

1. Дано:

Тело брошено с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту. Сопротивление воздуха не учитывается. Ускорение свободного падения равно $g$.

Найти:

Уравнение траектории движения тела $y(x)$.

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как суперпозицию (сложение) двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (оси OX) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (оси OY). Поместим начало системы координат $(0,0)$ в точку броска. Начальную скорость $v_0$ разложим на две составляющие: горизонтальную $v_{0x} = v_0 \cos \alpha$ и вертикальную $v_{0y} = v_0 \sin \alpha$.

Координаты тела в любой момент времени $t$ описываются следующими кинематическими уравнениями:

Для оси OX (равномерное движение): $x(t) = v_{0x} t = (v_0 \cos \alpha) t$

Для оси OY (равноускоренное движение с ускорением $a_y = -g$): $y(t) = v_{0y} t + \frac{a_y t^2}{2} = (v_0 \sin \alpha) t - \frac{g t^2}{2}$

Чтобы получить уравнение траектории $y(x)$, то есть зависимость вертикальной координаты от горизонтальной, необходимо исключить время $t$ из системы этих двух уравнений. Из первого уравнения выразим время:

$t = \frac{x}{v_0 \cos \alpha}$

Теперь подставим это выражение для $t$ во второе уравнение:

$y(x) = (v_0 \sin \alpha) \cdot \left(\frac{x}{v_0 \cos \alpha}\right) - \frac{g}{2} \cdot \left(\frac{x}{v_0 \cos \alpha}\right)^2$

Упростим полученное выражение, сократив $v_0$ в первом слагаемом и раскрыв скобки во втором:

$y(x) = x \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha}$

Используя тригонометрическое тождество $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, окончательно запишем уравнение траектории:

$y(x) = (\tan \alpha) x - \left(\frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha}\right) x^2$

Это уравнение является уравнением вида $y(x) = Ax - Bx^2$, где $A = \tan \alpha$ и $B = \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha}$ — положительные константы для заданных начальных условий. Графиком такой квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен).

Ответ: Тело, брошенное под углом к горизонту, при отсутствии сопротивления воздуха движется по параболической траектории.