Номер 3, страница 32 - гдз по физике 10 класс учебник Казахбаева, Кронгарт

3. Теннисист метнул теннисный мячик под углом $45^\circ$ к горизонту. Наибольшая высота, которой достиг мячик, $10 \text{ м}$. На какое расстояние удалось метнуть мячик теннисисту?

Дано:

Угол броска, $\alpha = 45^\circ$

Наибольшая высота подъема, $h_{max} = 10$ м

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Найти:

Дальность полета, $L$

Решение:

Движение теннисного мячика можно описать как движение тела, брошенного под углом к горизонту. Сопротивление воздуха не учитываем.

Наибольшая высота подъема $h_{max}$ и дальность полета $L$ для тела, брошенного с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту, определяются следующими формулами:

$h_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$ (1)

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$ (2)

Из формулы (1) выразим квадрат начальной скорости $v_0^2$:

$v_0^2 = \frac{2g h_{max}}{\sin^2(\alpha)}$

Теперь подставим это выражение для $v_0^2$ в формулу для дальности полета (2):

$L = \frac{1}{g} \left( \frac{2g h_{max}}{\sin^2(\alpha)} \right) \sin(2\alpha)$

Ускорение свободного падения $g$ сокращается:

$L = \frac{2 h_{max} \sin(2\alpha)}{\sin^2(\alpha)}$

Используем тригонометрическое тождество $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$:

$L = \frac{2 h_{max} \cdot 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = \frac{4 h_{max} \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = 4 h_{max} \cot(\alpha)$

Подставим в эту формулу известные значения из условия задачи: $h_{max} = 10$ м и $\alpha = 45^\circ$.

Поскольку $\cot(45^\circ) = 1$, получаем:

$L = 4 \cdot 10 \cdot \cot(45^\circ) = 4 \cdot 10 \cdot 1 = 40$ м

Можно также отметить, что для частного случая, когда угол броска равен $45^\circ$, дальность полета в 4 раза больше максимальной высоты подъема. Это следует из полученной выше формулы $L = 4 h_{max} \cot(\alpha)$ при $\alpha = 45^\circ$.

Проверим расчет, используя исходные формулы с подстановкой значений тригонометрических функций для угла $45^\circ$: $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(2 \cdot 45^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$.

Из формулы для дальности $L = \frac{v_0^2 \sin(90^\circ)}{g} = \frac{v_0^2}{g}$.

Из формулы для высоты $h_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2(45^\circ)}{2g} = \frac{v_0^2 (\frac{\sqrt{2}}{2})^2}{2g} = \frac{v_0^2 (\frac{1}{2})}{2g} = \frac{v_0^2}{4g}$.

Отсюда видно, что $L = 4 h_{max}$.

$L = 4 \cdot 10 = 40$ м.

Ответ: 40 м.