Номер 4, страница 32 - гдз по физике 10 класс учебник Казахбаева, Кронгарт

4. Какую скорость должен иметь спутник Земли, движущийся по круговой орбите на высоте 1700 км от поверхности Земли?

Дано:

Высота спутника над поверхностью Земли, $h = 1700 \text{ км}$

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Масса Земли, $M_З \approx 6 \times 10^{24} \text{ кг}$

Средний радиус Земли, $R_З \approx 6400 \text{ км}$

Перевод в систему СИ:

$h = 1700 \text{ км} = 1.7 \times 10^6 \text{ м}$

$R_З = 6400 \text{ км} = 6.4 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

Скорость спутника $v$.

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения со стороны Земли. Эта сила является центростремительной силой, которая удерживает спутник на орбите. Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу тяготения и центростремительную силу:

$F_g = F_ц$

Сила всемирного тяготения $F_g$ определяется по формуле:

$F_g = G \frac{M_З m}{r^2}$

где $m$ — масса спутника, а $r$ — радиус его орбиты.

Центростремительная сила $F_ц$ вычисляется как:

$F_ц = m \frac{v^2}{r}$

где $v$ — искомая орбитальная скорость.

Приравниваем правые части уравнений:

$G \frac{M_З m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Сокращаем массу спутника $m$ и один радиус $r$ в обеих частях уравнения:

$G \frac{M_З}{r} = v^2$

Отсюда получаем формулу для вычисления скорости спутника:

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$

Радиус орбиты $r$ равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты орбиты $h$ над поверхностью:

$r = R_З + h$

Вычислим радиус орбиты в метрах:

$r = 6.4 \times 10^6 \text{ м} + 1.7 \times 10^6 \text{ м} = 8.1 \times 10^6 \text{ м}$

Теперь подставим все известные значения в формулу для скорости:

$v = \sqrt{\frac{(6.67 \times 10^{-11}) \times (6 \times 10^{24})}{8.1 \times 10^6}}$

$v = \sqrt{\frac{40.02 \times 10^{13}}{8.1 \times 10^6}} \approx \sqrt{4.94 \times 10^7} \text{ м/с}$

Для удобства вычисления представим $4.94 \times 10^7$ как $49.4 \times 10^6$:

$v \approx \sqrt{49.4 \times 10^6} \approx 7.029 \times 10^3 \text{ м/с}$

Таким образом, скорость спутника составляет примерно $7029 \text{ м/с}$ или $7.03 \text{ км/с}$.

Ответ: $v \approx 7029 \text{ м/с}$ (или $7.03 \text{ км/с}$).