Номер 3, страница 97, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

3. Вал массой 100 кг и радиусом 5 см вращается с частотой 8 Гц. К цилиндрической поверхности вала прижимают колодку с силой 40 Н, под действием которой вал останавливается. Через какое время он остановится, если коэффициент трения колодки о вал равен 0,3?

(Ответ: 10 с)

Дано:

Масса вала, $m = 100$ кг

Радиус вала, $R = 5$ см

Начальная частота вращения, $f = 8$ Гц

Сила прижатия колодки, $F_н = 40$ Н

Коэффициент трения, $μ = 0.3$

$R = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Время остановки вала, $\text{t}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения, которое связывает тормозящий момент сил $\text{M}$, момент инерции тела $\text{I}$ и угловое ускорение $ε$:

$M = I \cdot ε$

Тормозящий момент создается силой трения $F_{тр}$, которая приложена к поверхности вала на расстоянии его радиуса $\text{R}$ от оси вращения.

$M = F_{тр} \cdot R$

Сила трения скольжения $F_{тр}$ определяется как произведение коэффициента трения $μ$ на силу нормального давления $F_н$ (силу, с которой колодку прижимают к валу):

$F_{тр} = μ \cdot F_н$

Таким образом, тормозящий момент равен:

$M = μ \cdot F_н \cdot R$

Момент инерции вала, который мы рассматриваем как сплошной цилиндр, вычисляется по формуле:

$I = \frac{1}{2} m R^2$

Теперь мы можем найти угловое ускорение $ε$ (в данном случае, замедление), с которым вал останавливается:

$ε = \frac{M}{I} = \frac{μ \cdot F_н \cdot R}{\frac{1}{2} m R^2} = \frac{2 \cdot μ \cdot F_н}{m \cdot R}$

Время до полной остановки $\text{t}$ найдем из кинематического уравнения. Начальная угловая скорость вала $ω_0$ связана с частотой $\text{f}$, а конечная угловая скорость $ω$ равна нулю.

$ω = ω_0 - εt$

$0 = ω_0 - εt \implies t = \frac{ω_0}{ε}$

Начальная угловая скорость $ω_0$ вычисляется через частоту вращения $\text{f}$:

$ω_0 = 2 \cdot π \cdot f$

Подставим все полученные выражения в формулу для времени $\text{t}$:

$t = \frac{ω_0}{ε} = \frac{2 \cdot π \cdot f}{\frac{2 \cdot μ \cdot F_н}{m \cdot R}} = \frac{2 \cdot π \cdot f \cdot m \cdot R}{2 \cdot μ \cdot F_н} = \frac{π \cdot f \cdot m \cdot R}{μ \cdot F_н}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$t = \frac{π \cdot 8 \text{ Гц} \cdot 100 \text{ кг} \cdot 0.05 \text{ м}}{0.3 \cdot 40 \text{ Н}} = \frac{π \cdot 8 \cdot 5}{12} = \frac{40π}{12} = \frac{10π}{3} \text{ с}$

Для получения численного ответа используем приближенное значение $π ≈ 3.14$:

$t ≈ \frac{10 \cdot 3.14}{3} ≈ \frac{31.4}{3} ≈ 10.47 \text{ с}$

Заметим, что ответ, указанный в скобках в условии задачи (10 с), получается, если при расчетах принять значение числа $π ≈ 3$. В этом случае: $t = \frac{10 \cdot 3}{3} = 10 \text{ с}$.

Ответ: $t = \frac{10π}{3} \text{ с} ≈ 10.47 \text{ с}$.