Номер 5, страница 97, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

5. Диск массой 2 кг катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости со скоростью 4 м/с. Определитеего кинетическую энергию.

(Ответ: 24 Дж)

Дано:

Масса диска, m = 2 кг

Скорость центра масс диска, v = 4 м/с

Данные приведены в системе СИ.

Найти:

Кинетическую энергию диска, $E_k$ - ?

Решение:

Когда тело, такое как диск, катится без проскальзывания, его полная кинетическая энергия является суммой двух составляющих: кинетической энергии поступательного движения центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс.

$E_k = E_{пост} + E_{вращ}$

Кинетическая энергия поступательного движения ($E_{пост}$) вычисляется по формуле:

$E_{пост} = \frac{mv^2}{2}$

где m — масса тела, а v — скорость его центра масс.

Кинетическая энергия вращательного движения ($E_{вращ}$) вычисляется по формуле:

$E_{вращ} = \frac{I\omega^2}{2}$

где I — момент инерции тела относительно оси вращения, а $\omega$ — его угловая скорость.

Для сплошного диска (или цилиндра) момент инерции относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска, равен:

$I = \frac{mR^2}{2}$

где R — радиус диска.

Условие качения без проскальзывания связывает линейную скорость центра масс v с угловой скоростью $\omega$ соотношением:

$v = \omega R$, из чего следует, что $\omega = \frac{v}{R}$

Подставим выражения для I и $\omega$ в формулу для энергии вращательного движения:

$E_{вращ} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{mR^2}{2}\right) \cdot \left(\frac{v}{R}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{mR^2}{2} \cdot \frac{v^2}{R^2} = \frac{mv^2}{4}$

Теперь можем найти полную кинетическую энергию, суммируя энергию поступательного и вращательного движений:

$E_k = E_{пост} + E_{вращ} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{4} = \frac{2mv^2 + mv^2}{4} = \frac{3mv^2}{4}$

Подставим в полученную формулу числовые значения из условия задачи:

$E_k = \frac{3 \cdot 2 \, \text{кг} \cdot (4 \, \text{м/с})^2}{4} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 16}{4} \, \text{Дж} = \frac{96}{4} \, \text{Дж} = 24 \, \text{Дж}$

Ответ: 24 Дж.