Номер 4, страница 97, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

4. Горизонтальная платформа в виде диска радиусом $1 \text{ м}$ свободно вращается с частотой $6 \text{ об/мин}$ вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. На краю платформы стоит человек массой $80 \text{ кг}$. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции платформы равен $120 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$, а момент инерции человека надо рассчитывать как для материальной точки.

(Ответ: $10 \text{ об/мин}$)

Дано:

Радиус платформы, $R = 1$ м

Начальная частота вращения, $n_1 = 6$ об/мин

Масса человека, $m = 80$ кг

Момент инерции платформы, $I_п = 120$ кг⋅м²

Все величины, кроме частоты, даны в системе СИ. Частоту можно оставить в «об/мин», так как в конечной формуле единицы измерения сократятся, и ответ будет в тех же единицах.

Найти:

Конечную частоту вращения $n_2$.

Решение:

Система, состоящая из платформы и человека, является механически изолированной относительно вертикальной оси вращения, так как суммарный момент внешних сил, действующих на нее, равен нулю. Силы, с которыми человек действует на платформу при своем перемещении, являются внутренними для системы. Поэтому для данной системы выполняется закон сохранения момента импульса:

$L_1 = L_2$,

где $L_1$ — начальный момент импульса системы, а $L_2$ — конечный.

Момент импульса $\text{L}$ определяется произведением момента инерции $\text{I}$ на угловую скорость $\omega$: $L = I \cdot \omega$. Угловая скорость, в свою очередь, связана с частотой вращения $\text{n}$ (число оборотов в единицу времени) как $\omega = 2\pi n$.

Тогда закон сохранения момента импульса можно записать в виде:

$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$

$I_1 (2\pi n_1) = I_2 (2\pi n_2)$

Отсюда следует соотношение для частот:

$I_1 n_1 = I_2 n_2$

Найдем моменты инерции системы в начальном ($I_1$) и конечном ($I_2$) состояниях.

1. В начальном состоянии человек находится на краю платформы. Момент инерции человека, рассматриваемого как материальная точка, находящаяся на расстоянии $\text{R}$ от оси вращения, равен $I_{ч1} = mR^2$. Общий момент инерции системы $I_1$ равен сумме момента инерции платформы $I_п$ и момента инерции человека $I_{ч1}$:

$I_1 = I_п + I_{ч1} = I_п + mR^2$

Подставим числовые значения:

$I_1 = 120 \text{ кг⋅м}^2 + 80 \text{ кг} \cdot (1 \text{ м})^2 = 120 + 80 = 200 \text{ кг⋅м}^2$

2. В конечном состоянии человек перешел в центр платформы. В этом положении расстояние человека от оси вращения равно нулю ($r=0$). Следовательно, его момент инерции $I_{ч2}$ также равен нулю:

$I_{ч2} = m \cdot 0^2 = 0$

Общий момент инерции системы $I_2$ теперь равен моменту инерции платформы:

$I_2 = I_п + I_{ч2} = I_п = 120 \text{ кг⋅м}^2$

Теперь мы можем найти конечную частоту вращения $n_2$ из закона сохранения момента импульса:

$n_2 = n_1 \frac{I_1}{I_2}$

Подставляем значения:

$n_2 = 6 \text{ об/мин} \cdot \frac{200 \text{ кг⋅м}^2}{120 \text{ кг⋅м}^2} = 6 \cdot \frac{20}{12} = 6 \cdot \frac{5}{3} = 10 \text{ об/мин}$

Ответ: 10 об/мин.