Номер 4, страница 96, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

4. Почему работа внутренних сил системы при поступательном движении не приводит к изменению ее кинетической энергии, а при вращательном движении работа этих же сил изменяет энергию вращающегося тела?

Этот вопрос рассматривает два разных сценария движения и влияние на них внутренних сил. Разберем каждый случай отдельно.

Почему работа внутренних сил при поступательном движении не изменяет кинетическую энергию

Поступательным называется движение, при котором все точки тела движутся по одинаковым траекториям и в каждый момент времени имеют одинаковые векторы скорости и ускорения. Следовательно, за любой малый промежуток времени $dt$ все точки тела совершают одинаковое перемещение $d\vec{r}$.

Внутренние силы в системе всегда существуют парами. Согласно третьему закону Ньютона, для любой пары взаимодействующих частиц (назовем их 1 и 2) сила $\vec{F}_{12}$ (действие частицы 1 на 2) равна по величине и противоположна по направлению силе $\vec{F}_{21}$ (действие частицы 2 на 1):

$\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$

Работа, совершаемая этой парой сил за время $dt$, равна сумме работ каждой из сил:

$dA_{вн} = \vec{F}_{12} \cdot d\vec{r}_2 + \vec{F}_{21} \cdot d\vec{r}_1$

где $d\vec{r}_1$ и $d\vec{r}_2$ — перемещения частиц 1 и 2 соответственно. При поступательном движении $d\vec{r}_1 = d\vec{r}_2 = d\vec{r}$. Подставим это условие и третий закон Ньютона в формулу для работы:

$dA_{вн} = \vec{F}_{12} \cdot d\vec{r} + (-\vec{F}_{12}) \cdot d\vec{r} = \vec{F}_{12} \cdot d\vec{r} - \vec{F}_{12} \cdot d\vec{r} = 0$

Суммарная работа любой пары внутренних сил равна нулю. Поскольку вся система состоит из таких пар, полная работа всех внутренних сил в системе при поступательном движении равна нулю. Согласно теореме о кинетической энергии, изменение кинетической энергии системы равно работе всех сил, действующих на нее ($ \Delta E_k = A_{внеш} + A_{вн} $). Так как $A_{вн} = 0$, внутренние силы не могут изменить кинетическую энергию системы, движущейся поступательно.

Почему работа внутренних сил при вращательном движении может изменять энергию

При вращательном движении разные точки тела движутся по разным траекториям (окружностям разного радиуса) и с разными линейными скоростями. Это означает, что их перемещения за один и тот же промежуток времени, как правило, не равны: $d\vec{r}_1 \neq d\vec{r}_2$.

Здесь ключевым является то, является ли тело абсолютно твердым или нет.

1. Для абсолютно твердого тела расстояние между любыми двумя точками постоянно. В этом случае, хотя $d\vec{r}_1 \neq d\vec{r}_2$, можно доказать, что работа внутренних сил все равно равна нулю. Это происходит потому, что относительное перемещение частиц всегда перпендикулярно линии, их соединяющей, а внутренние силы действуют вдоль этой линии.

2. Для нежесткой (деформируемой) системы, о которой, по-видимому, и идет речь в вопросе, расстояние между частицами может изменяться. Классический пример — фигурист, вращающийся на льду. Силы мышц, которыми он прижимает руки к туловищу, являются внутренними для системы «фигурист».

Когда фигурист прижимает руки, он совершает работу, так как точки приложения внутренних сил (руки) перемещаются относительно других частей тела (корпуса). Эта работа совершается за счет внутренней энергии организма (химической энергии в мышцах) и переходит в кинетическую энергию вращения.

Кинетическая энергия вращения определяется формулой $E_k = \frac{1}{2}I\omega^2$, где $\text{I}$ — момент инерции, а $\omega$ — угловая скорость. Энергию можно также выразить через момент импульса $L = I\omega$: $E_k = \frac{L^2}{2I}$.

При отсутствии внешних моментов сил момент импульса $\text{L}$ системы сохраняется. Когда фигурист прижимает руки, он уменьшает свой момент инерции $\text{I}$. Поскольку $\text{L}$ постоянно, а $\text{I}$ в знаменателе, кинетическая энергия $E_k$ увеличивается. Это увеличение энергии равно работе, совершенной внутренними силами.

Ответ: Внутренние силы не изменяют кинетическую энергию системы при поступательном движении, так как перемещения всех точек системы одинаковы, и работа, совершаемая равными и противоположно направленными силами внутри любой пары частиц, взаимно компенсируется. При вращательном движении нежесткой системы (например, фигуриста, прижимающего руки) части системы могут перемещаться друг относительно друга, что позволяет внутренним силам совершать ненулевую работу. Эта работа приводит к изменению кинетической энергии вращения за счет преобразования других видов внутренней энергии (например, химической или потенциальной).