Номер 2, страница 137, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

2. Полый медный шар плавает в воде во взвешенном состоянии. Чему равна масса шара, если объем его воздушной полости равен $17,75 \text{ см}^3$?

(Ответ: $20 \text{ г}$)

Дано:

Шар - полый, медный

Жидкость - вода

Состояние - плавает во взвешенном состоянии

$V_{полости} = 17,75 \text{ см}^3$

Плотность воды $\rho_{воды} = 1 \text{ г/см}^3$

Плотность меди $\rho_{меди} = 8,9 \text{ г/см}^3$

Перевод в систему СИ:

$V_{полости} = 17,75 \text{ см}^3 = 17,75 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 17,75 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 1,775 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

$\rho_{воды} = 1 \text{ г/см}^3 = 1000 \text{ кг/м}^3$

$\rho_{меди} = 8,9 \text{ г/см}^3 = 8900 \text{ кг/м}^3$

Найти:

$m_{шара}$ - ?

Решение:

Поскольку полый медный шар плавает в воде во взвешенном состоянии, это означает, что он полностью погружен в воду, и действующая на него сила тяжести $F_т$ уравновешена выталкивающей силой Архимеда $F_А$.

Условие плавания тела во взвешенном состоянии: $F_т = F_А$.

Сила тяжести, действующая на шар, равна $F_т = m_{шара} \cdot g$, где $m_{шара}$ – масса шара, а $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Выталкивающая сила Архимеда равна $F_А = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{шара}$, где $\rho_{воды}$ – плотность воды, а $V_{шара}$ – полный объем шара.

Приравнивая эти силы, получаем: $m_{шара} \cdot g = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{шара}$.

Сократив $\text{g}$, получаем, что масса шара равна массе вытесненной им воды: $m_{шара} = \rho_{воды} \cdot V_{шара}$.

Масса самого шара определяется массой меди, из которой он сделан (массой воздуха в полости пренебрегаем): $m_{шара} = \rho_{меди} \cdot V_{меди}$, где $\rho_{меди}$ – плотность меди, а $V_{меди}$ – объем меди в шаре.

Полный объем шара $V_{шара}$ складывается из объема меди $V_{меди}$ и объема воздушной полости $V_{полости}$: $V_{шара} = V_{меди} + V_{полости}$.

Мы получили систему из трех уравнений:

1) $m_{шара} = \rho_{воды} \cdot V_{шара}$

2) $m_{шара} = \rho_{меди} \cdot V_{меди}$

3) $V_{шара} = V_{меди} + V_{полости}$

Из уравнений (1) и (2) выразим объемы $V_{шара}$ и $V_{меди}$ через массу шара $m_{шара}$:

$V_{шара} = \frac{m_{шара}}{\rho_{воды}}$

$V_{меди} = \frac{m_{шара}}{\rho_{меди}}$

Подставим эти выражения в уравнение (3):

$\frac{m_{шара}}{\rho_{воды}} = \frac{m_{шара}}{\rho_{меди}} + V_{полости}$

Перенесем слагаемые с $m_{шара}$ в одну сторону и выразим массу шара:

$\frac{m_{шара}}{\rho_{воды}} - \frac{m_{шара}}{\rho_{меди}} = V_{полости}$

$m_{шара} \cdot (\frac{1}{\rho_{воды}} - \frac{1}{\rho_{меди}}) = V_{полости}$

$m_{шара} \cdot (\frac{\rho_{меди} - \rho_{воды}}{\rho_{воды} \cdot \rho_{меди}}) = V_{полости}$

$m_{шара} = V_{полости} \cdot \frac{\rho_{воды} \cdot \rho_{меди}}{\rho_{меди} - \rho_{воды}}$

Для удобства расчетов будем использовать единицы г и см³, так как исходные данные представлены в них. Плотность воды $\rho_{воды} = 1 \text{ г/см}^3$. Плотность меди $\rho_{меди} = 8,9 \text{ г/см}^3$.

Подставим числовые значения:

$m_{шара} = 17,75 \text{ см}^3 \cdot \frac{1 \text{ г/см}^3 \cdot 8,9 \text{ г/см}^3}{8,9 \text{ г/см}^3 - 1 \text{ г/см}^3} = 17,75 \cdot \frac{8,9}{7,9} \text{ г} \approx 19,995 \text{ г}$.

Округляя, получаем 20 г.

Ответ: масса шара равна 20 г.