Номер 5, страница 139, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

5. Какой смысл имеет уравнение неразрывности?

5. Уравнение неразрывности (или уравнение непрерывности) является математическим выражением одного из фундаментальных законов сохранения — закона сохранения массы. Его физический смысл заключается в том, что масса в любой рассматриваемой системе не может возникнуть из ниоткуда или исчезнуть бесследно; она может лишь перемещаться или изменять свою концентрацию (плотность).

Рассмотрим его применение в гидродинамике для потока жидкости или газа в трубе.

Представим себе трубку тока — воображаемую трубку, стенки которой образованы линиями тока жидкости. Поскольку жидкость не может пересекать линии тока, вся масса, втекающая в трубку через одно поперечное сечение, должна вытекать через другое.

Массовый расход $Q_m$ — это масса жидкости, проходящая через поперечное сечение $\text{S}$ за единицу времени. Он равен произведению плотности жидкости $\rho$, площади сечения $\text{S}$ и скорости потока $\text{v}$:

$Q_m = \rho \cdot v \cdot S$

Согласно закону сохранения массы, для установившегося потока (когда параметры потока в каждой точке не меняются со временем) массовый расход должен быть одинаковым в любом сечении трубки тока:

$\rho_1 v_1 S_1 = \rho_2 v_2 S_2 = \text{const}$

Это и есть уравнение неразрывности в интегральной форме для стационарного потока.

Особенно нагляден смысл этого уравнения для несжимаемой жидкости, плотность которой постоянна ($\rho = \text{const}$). В этом случае уравнение значительно упрощается:

$v_1 S_1 = v_2 S_2 = \text{const}$

Произведение $Q_V = v \cdot S$ называется объемным расходом (объем жидкости, проходящий через сечение в единицу времени). Таким образом, для несжимаемой жидкости объемный расход постоянен. Из этого следует, что там, где труба сужается (площадь сечения $\text{S}$ уменьшается), скорость потока $\text{v}$ должна возрастать, и наоборот, в широких местах трубы поток замедляется. Классический пример — когда мы зажимаем пальцем конец садового шланга, уменьшая площадь выходного отверстия, скорость струи воды резко увеличивается.

В более общем виде (для нестационарных потоков сжимаемой жидкости) уравнение записывается в дифференциальной форме:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0$

Здесь $\frac{\partial \rho}{\partial t}$ — скорость изменения плотности во времени в данной точке, а $\nabla \cdot (\rho \vec{v})$ — дивергенция (расходимость) вектора плотности потока массы, которая характеризует, сколько массы "вытекает" из бесконечно малого объема вокруг этой точки. Уравнение утверждает, что увеличение плотности в точке равно чистому притоку массы в эту точку.

Ответ: Физический смысл уравнения неразрывности — это выражение закона сохранения массы. Оно гласит, что масса не создается и не уничтожается, а лишь перераспределяется в пространстве. Для потока жидкости это означает, что масса, протекающая через любое поперечное сечение потока в единицу времени, является постоянной величиной. В частном случае несжимаемой жидкости это приводит к тому, что скорость потока обратно пропорциональна площади его поперечного сечения.