Номер 2, страница 140, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

2. Из отверстия дна высокого сосуда вытекает вода. Сечение сосуда $S_1$, сечение струи $S_2$ (рис. 22.3). Найдите ускорение, с которым перемещается уровень воды в сосуде.

Рис. 22.3

(Ответ: $a = \frac{S_2}{S_1} g$)

Дано:

Сечение сосуда: $S_1$

Сечение струи: $S_2$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Ускорение, с которым перемещается уровень воды в сосуде: $\text{a}$

Решение:

Рассмотрим всю массу воды в сосуде как единую систему, движущуюся с ускорением $\text{a}$. Применим к этой системе второй закон Ньютона:

$Ma = F_{net}$

где $\text{M}$ – масса воды в сосуде, $\text{a}$ – ускорение уровня воды, $F_{net}$ – равнодействующая всех внешних сил, действующих на воду.

Пусть в некоторый момент времени высота уровня воды в сосуде равна $\text{h}$. Тогда масса воды $\text{M}$ равна:

$M = \rho S_1 h$, где $\rho$ – плотность воды.

На воду действуют две основные вертикальные силы:

1. Сила тяжести $F_g$, направленная вниз: $F_g = Mg = \rho S_1 h g$.

2. Сила реакции опоры $F_{up}$ со стороны дна сосуда, направленная вверх. Эта сила создается давлением воды на дно и действует на площадь $S_1 - S_2$ (так как в области отверстия площадью $S_2$ дна нет).

$F_{up} = P_{bottom} (S_1 - S_2)$, где $P_{bottom}$ – давление на дне сосуда.

Равнодействующая сила $F_{net}$ направлена вниз и равна:

$F_{net} = F_g - F_{up} = \rho S_1 h g - P_{bottom} (S_1 - S_2)$.

Для нахождения давления на дне $P_{bottom}$ сделаем упрощающее предположение, что оно примерно равно гидростатическому давлению, которое было бы в покоящейся жидкости на глубине $\text{h}$:

$P_{bottom} \approx \rho g h$.

Это допущение справедливо, когда ускорение $\text{a}$ мало по сравнению с $\text{g}$, что обычно выполняется, если $S_2 \ll S_1$. Подставив это приближенное значение в выражение для равнодействующей силы, получим:

$F_{net} \approx \rho S_1 h g - (\rho g h)(S_1 - S_2) = \rho g h [S_1 - (S_1 - S_2)] = \rho g h S_2$.

Теперь подставим выражения для массы $\text{M}$ и равнодействующей силы $F_{net}$ в уравнение второго закона Ньютона:

$(\rho S_1 h) a = \rho g h S_2$.

Сократим обе части уравнения на $\rho$ и $\text{h}$:

$S_1 a = g S_2$.

Отсюда выразим искомое ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{S_2}{S_1}g$.

Ответ: $a = \frac{S_2}{S_1}g$.