Номер 5, страница 142, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

5. Используя какой закон мы вывели уравнение Бернулли?

5. Решение

Уравнение Бернулли является фундаментальным соотношением в гидродинамике, и оно представляет собой математическую формулировку закона сохранения энергии для установившегося потока идеальной жидкости (то есть жидкости без вязкости и несжимаемой).

Вывод уравнения основан на теореме о работе и энергии. Эта теорема гласит, что работа, совершаемая всеми силами, действующими на систему, равна изменению ее полной механической энергии. Для элементарного объема жидкости, движущегося вдоль линии тока, этими силами являются силы давления и сила тяжести.

Рассмотрим работу, совершаемую над элементом жидкости объемом $\Delta V$ при его перемещении из сечения 1 в сечение 2. Работа внешних сил (сил давления) $A_p$ приводит к изменению кинетической энергии $\Delta E_k$ и потенциальной энергии $\Delta E_p$ элемента жидкости:

$A_p = \Delta E_k + \Delta E_p$

Работа сил давления, действующих на торцы объема $\Delta V$, равна:

$A_p = (p_1 - p_2) \Delta V$

Изменение кинетической энергии, учитывая, что масса $m = \rho \Delta V$, составляет:

$\Delta E_k = \frac{1}{2}m v_2^2 - \frac{1}{2}m v_1^2 = \frac{1}{2}\rho \Delta V (v_2^2 - v_1^2)$

Изменение потенциальной энергии в поле тяжести:

$\Delta E_p = mgh_2 - mgh_1 = \rho \Delta V g (h_2 - h_1)$

Подставляя эти выражения в уравнение баланса энергии, получаем:

$(p_1 - p_2) \Delta V = \frac{1}{2}\rho \Delta V (v_2^2 - v_1^2) + \rho \Delta V g (h_2 - h_1)$

После сокращения на $\Delta V$ и перегруппировки членов уравнения (собирая все параметры для сечения 1 слева, а для сечения 2 справа), приходим к уравнению Бернулли:

$p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2$

Это уравнение показывает, что сумма статического давления ($\text{p}$), динамического давления ($\frac{1}{2}\rho v^2$) и гидростатического давления ($\rho g h$) остается постоянной величиной вдоль линии тока:

$p + \frac{\rho v^2}{2} + \rho g h = \text{const}$

Таким образом, уравнение Бернулли — это не что иное, как закон сохранения энергии, записанный для единицы объема движущейся жидкости.

Ответ: Уравнение Бернулли было выведено на основе закона сохранения энергии, примененного к стационарному потоку идеальной жидкости.