Номер 4, страница 145, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

4. На поршень спринцовки, имеющий площадь $10\ \text{см}^2$, действует постоянная сила $12\ \text{Н}$. С какой скоростью должна вылетать в горизонтальном направлении струя жидкости из отверстия площадью $2\ \text{см}^2$, если плотность жидкости $0,8\ \text{г}/\text{см}^3$?

(Ответ: $5\ \text{м}/\text{с}$)

Дано:

Площадь поршня $S_1 = 10 \text{ см}^2$

Сила, действующая на поршень $F = 12 \text{ Н}$

Площадь отверстия $S_2 = 2 \text{ см}^2$

Плотность жидкости $\rho = 0,8 \text{ г/см}^3$

Перевод в систему СИ:

$S_1 = 10 \text{ см}^2 = 10 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 10 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 10^{-3} \text{ м}^2$

$S_2 = 2 \text{ см}^2 = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$F = 12 \text{ Н}$

$\rho = 0,8 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 0,8 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 0,8 \cdot \frac{10^{-3}}{10^{-6}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 0,8 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

Скорость струи $v_2$

Решение:

Для решения данной задачи применим уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости, а также уравнение неразрывности потока. Поскольку спринцовка расположена горизонтально, изменением потенциальной энергии жидкости можно пренебречь.

Уравнение Бернулли для двух сечений потока в горизонтальной плоскости имеет вид:

$p_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2}$

Здесь $p_1$ и $v_1$ – давление и скорость жидкости в широкой части спринцовки (под поршнем), а $p_2$ и $v_2$ – давление и скорость жидкости на выходе из узкого отверстия.

Давление на выходе из отверстия равно атмосферному, то есть $p_2 = p_{атм}$. Давление под поршнем $p_1$ создается внешней силой $\text{F}$, приложенной к поршню площадью $S_1$, и внешним атмосферным давлением. Таким образом, $p_1 = p_{атм} + \frac{F}{S_1}$.

Подставим выражения для давлений в уравнение Бернулли:

$p_{атм} + \frac{F}{S_1} + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_{атм} + \frac{\rho v_2^2}{2}$

Сократив $p_{атм}$ в обеих частях, получим:

$\frac{F}{S_1} + \frac{\rho v_1^2}{2} = \frac{\rho v_2^2}{2}$

Скорости течения жидкости в широкой ($v_1$) и узкой ($v_2$) частях спринцовки связаны уравнением неразрывности:

$S_1 v_1 = S_2 v_2$

Из этого уравнения выразим скорость движения поршня $v_1$ через скорость вылетающей струи $v_2$:

$v_1 = v_2 \frac{S_2}{S_1}$

Теперь подставим это выражение для $v_1$ в преобразованное уравнение Бернулли:

$\frac{F}{S_1} + \frac{\rho}{2} \left(v_2 \frac{S_2}{S_1}\right)^2 = \frac{\rho v_2^2}{2}$

Сгруппируем слагаемые, содержащие искомую скорость $v_2$:

$\frac{F}{S_1} = \frac{\rho v_2^2}{2} - \frac{\rho v_2^2 S_2^2}{2 S_1^2} = \frac{\rho v_2^2}{2} \left(1 - \frac{S_2^2}{S_1^2}\right)$

Отсюда выразим $v_2^2$:

$v_2^2 = \frac{2F}{\rho S_1 \left(1 - (S_2/S_1)^2\right)}$

И, наконец, получим формулу для скорости $v_2$:

$v_2 = \sqrt{\frac{2F}{\rho S_1 \left(1 - (S_2/S_1)^2\right)}}$

Теперь подставим числовые значения из условия в систему СИ:

$v_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot 12}{800 \cdot 10^{-3} \cdot \left(1 - \left(\frac{2 \cdot 10^{-4}}{10^{-3}}\right)^2\right)}} = \sqrt{\frac{24}{0,8 \cdot \left(1 - 0,2^2\right)}} = \sqrt{\frac{24}{0,8 \cdot (1 - 0,04)}} = \sqrt{\frac{24}{0,8 \cdot 0,96}} = \sqrt{\frac{24}{0,768}} = \sqrt{31,25} \approx 5,59 \text{ м/с}$

Полученный результат (приблизительно 5,59 м/с) отличается от ответа (5 м/с), указанного в скобках в условии задачи. Вероятно, в условии допущена опечатка. Проверим, какой результат получится, если предположить, что плотность жидкости равна плотности воды, то есть $\rho = 1 \text{ г/см}^3 = 1000 \text{ кг/м}^3$.

$v_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot 12}{1000 \cdot 10^{-3} \cdot \left(1 - 0,2^2\right)}} = \sqrt{\frac{24}{1 \cdot 0,96}} = \sqrt{25} = 5 \text{ м/с}$

Этот результат точно совпадает с ответом из условия, что подтверждает предположение об опечатке в значении плотности.

Ответ: при заданных в условии значениях скорость струи составляет приближенно 5,59 м/с. Ответ 5 м/с, указанный в задаче, получается в том случае, если плотность жидкости принять равной $1000 \text{ кг/м}^3$.