Номер 1, страница 145, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

1. В подвале дома вода отопительной системы поступает в трубу диаметром 4 см со скоростью 50 см/с под давлением 3 атм. Каковы скорость течения и давление в трубке диаметром 2,6 см на втором этаже, расположенного на 5 м выше?

(Ответ: 1,18 м/с; 2,5 Па)

Дано:

Диаметр трубы в подвале: $d_1 = 4$ см

Скорость воды в подвале: $v_1 = 50$ см/с

Давление в подвале: $P_1 = 3$ атм

Диаметр трубы на втором этаже: $d_2 = 2,6$ см

Разница высот: $h = h_2 - h_1 = 5$ м

Плотность воды: $\rho \approx 1000$ кг/м³

Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8$ м/с²

Перевод в систему СИ:

$d_1 = 4 \text{ см} = 0,04 \text{ м}$

$v_1 = 50 \text{ см/с} = 0,5 \text{ м/с}$

$P_1 = 3 \text{ атм} = 3 \cdot 101325 \text{ Па} = 303975 \text{ Па}$

$d_2 = 2,6 \text{ см} = 0,026 \text{ м}$

Примем высоту в подвале за нулевую: $h_1 = 0$ м, тогда высота на втором этаже $h_2 = 5$ м.

Найти:

Скорость течения на втором этаже $v_2$ и давление $P_2$.

Решение:

1. Найдем скорость течения воды $v_2$ в трубе на втором этаже, используя уравнение неразрывности (сохранения массы) для несжимаемой жидкости. Это уравнение гласит, что произведение площади поперечного сечения трубы на скорость потока постоянно:

$S_1 v_1 = S_2 v_2$

Площадь поперечного сечения круглой трубы выражается через ее диаметр $\text{d}$ как $S = \frac{\pi d^2}{4}$. Подставим это в уравнение неразрывности:

$\frac{\pi d_1^2}{4} v_1 = \frac{\pi d_2^2}{4} v_2$

Сократив общие множители, получим:

$d_1^2 v_1 = d_2^2 v_2$

Отсюда выразим искомую скорость $v_2$:

$v_2 = v_1 \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2$

Подставим числовые значения в единицах СИ:

$v_2 = 0,5 \text{ м/с} \cdot \left( \frac{0,04 \text{ м}}{0,026 \text{ м}} \right)^2 \approx 0,5 \cdot (1,538)^2 \approx 0,5 \cdot 2,367 \approx 1,1835 \text{ м/с}$

Округлим до сотых: $v_2 \approx 1,18$ м/с.

2. Теперь найдем давление $P_2$ на втором этаже, используя уравнение Бернулли, которое связывает давление, скорость и высоту для движущейся жидкости:

$P_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} + \rho g h_1 = P_2 + \frac{\rho v_2^2}{2} + \rho g h_2$

Выразим из этого уравнения давление $P_2$:

$P_2 = P_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} - \frac{\rho v_2^2}{2} + \rho g h_1 - \rho g h_2 = P_1 + \frac{\rho}{2}(v_1^2 - v_2^2) + \rho g(h_1 - h_2)$

Подставим числовые значения:

$P_2 = 303975 \text{ Па} + \frac{1000 \text{ кг/м³}}{2}((0,5 \text{ м/с})^2 - (1,1835 \text{ м/с})^2) + 1000 \text{ кг/м³} \cdot 9,8 \text{ м/с²} \cdot (0 \text{ м} - 5 \text{ м})$

$P_2 = 303975 + 500 \cdot (0,25 - 1,4007) - 49000$

$P_2 = 303975 + 500 \cdot (-1,1507) - 49000$

$P_2 = 303975 - 575,35 - 49000 = 254399,65 \text{ Па}$

Округляя, получаем $P_2 \approx 254400 \text{ Па}$ или $2,544 \cdot 10^5 \text{ Па}$.

Это значение можно перевести обратно в атмосферы: $P_2 = \frac{254400}{101325} \approx 2,51$ атм.

Примечание: Ответ, указанный в условии (2,5 Па), является некорректным. Давление 2,5 Па — это практически вакуум. Вероятнее всего, в ответе была допущена опечатка и имелось в виду 2,5 атм, что близко к полученному результату.

Ответ: скорость течения $v_2 \approx 1,18$ м/с, давление $P_2 \approx 2,54 \cdot 10^5$ Па (что составляет примерно $2,51$ атм).