Номер 3, страница 145, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

3. На гладком столе стоит сосуд с водой. В боковой стенке сосуда у самого дна имеется малое отверстие площадью 5 см². Какую минимальную силу нужно приложить к сосуду, чтобы удержать его в равновесии, если высота уровня воды в сосуде 40 см?

(Ответ: 4 Н)

Дано:

Площадь отверстия $S = 5 \text{ см}^2 = 5 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Высота уровня воды $h = 40 \text{ см} = 0,4 \text{ м}$

Плотность воды $\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Минимальную силу для удержания сосуда в равновесии $F - ?$

Решение:

Когда вода вытекает из отверстия, возникает реактивная сила, которая стремится сдвинуть сосуд в сторону, противоположную направлению струи. Чтобы удержать сосуд в равновесии, необходимо приложить внешнюю силу $\text{F}$, равную по модулю и противоположную по направлению этой реактивной силе.

Согласно закону сохранения импульса, реактивная сила равна скорости изменения импульса вытекающей воды. Силу можно найти по формуле:

$F = v \frac{dm}{dt}$

где $\text{v}$ — скорость вытекающей струи, а $\frac{dm}{dt}$ — массовый расход воды (масса воды, вытекающей в единицу времени).

Скорость вытекания воды из малого отверстия на глубине $\text{h}$ определяется по формуле Торричелли:

$v = \sqrt{2gh}$

Массовый расход воды можно выразить через объемный расход $\text{Q}$:

$\frac{dm}{dt} = \rho Q = \rho S v$

где $\text{S}$ — площадь отверстия.

Подставим выражение для массового расхода в формулу для силы:

$F = v (\rho S v) = \rho S v^2$

Теперь подставим в это выражение формулу Торричелли для $v^2$:

$v^2 = (\sqrt{2gh})^2 = 2gh$

$F = \rho S (2gh) = 2\rho g h S$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$F = 2 \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0,4 \text{ м} \cdot 5 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$F = 2 \cdot 1000 \cdot 10 \cdot 0,4 \cdot 5 \cdot 10^{-4} \text{ Н} = (2 \cdot 10 \cdot 0,4 \cdot 5) \cdot (1000 \cdot 10^{-4}) \text{ Н}$

$F = 40 \cdot 0,1 \text{ Н} = 4 \text{ Н}$

Ответ: 4 Н.