Номер 5, страница 145, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*5. Какова должна быть минимальная мощность насоса, поднимающего воду по трубе сечением $25 \text{ см}^2$ на высоту $20 \text{ м}$, если КПД насоса равен $60\%$ и ежесекундная подача воды равна $0,3 \text{ м}^3/\text{с}$?

(Ответ: $3,7 \text{ МВт}$)

Дано:

Площадь сечения трубы $S = 25 \, \text{см}^2$

Высота подъема $h = 20 \, \text{м}$

КПД насоса $\eta = 60\%$

Объемная подача воды (расход) $Q = 0,3 \, \text{м}^3/\text{с}$

Плотность воды $\rho = 1000 \, \text{кг}/\text{м}^3$

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \, \text{м}/\text{с}^2$

Переведем данные в систему СИ:

$S = 25 \, \text{см}^2 = 25 \cdot (10^{-2} \, \text{м})^2 = 25 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2 = 0,0025 \, \text{м}^2$

$\eta = 60\% = 0,6$

Найти:

Минимальную мощность насоса $P_{затр}$.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) насоса определяется как отношение полезной мощности $P_{полез}$ к затраченной (полной) мощности $P_{затр}$:

$\eta = \frac{P_{полез}}{P_{затр}}$

Отсюда затраченная мощность насоса равна:

$P_{затр} = \frac{P_{полез}}{\eta}$

Полезная мощность $P_{полез}$ складывается из мощности, необходимой для подъема воды на высоту $\text{h}$ (увеличение потенциальной энергии), и мощности, необходимой для придания воде скорости $\text{v}$ (увеличение кинетической энергии).

$P_{полез} = \frac{A_{полез}}{t} = \frac{\Delta E_p + \Delta E_k}{t}$

Где $\Delta E_p = mgh$ - изменение потенциальной энергии, а $\Delta E_k = \frac{mv^2}{2}$ - изменение кинетической энергии воды массой $\text{m}$ за время $\text{t}$.

Таким образом, полезная мощность равна:

$P_{полез} = \frac{mgh}{t} + \frac{mv^2}{2t}$

Масса воды $\text{m}$, проходящей через трубу за время $\text{t}$, связана с объемным расходом $\text{Q}$ и плотностью $\rho$ как $m = \rho V = \rho Q t$.

Массовый расход воды равен $\frac{m}{t} = \rho Q$.

Подставим это в формулу для полезной мощности:

$P_{полез} = \rho Q g h + \frac{\rho Q v^2}{2}$

Скорость течения воды $\text{v}$ в трубе можно найти из формулы для объемного расхода:

$Q = S \cdot v \Rightarrow v = \frac{Q}{S}$

Вычислим скорость воды:

$v = \frac{0,3 \, \text{м}^3/\text{с}}{0,0025 \, \text{м}^2} = 120 \, \text{м}/\text{с}$

Теперь вычислим полезную мощность, подставляя все известные значения:

$P_{полез} = 1000 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0,3 \, \frac{\text{м}^3}{\text{с}} \cdot 9,8 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 20 \, \text{м} + \frac{1}{2} \cdot 1000 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0,3 \, \frac{\text{м}^3}{\text{с}} \cdot (120 \, \frac{\text{м}}{\text{с}})^2$

$P_{полез} = (300 \cdot 9,8 \cdot 20) \, \text{Вт} + (150 \cdot 14400) \, \text{Вт}$

$P_{полез} = 58800 \, \text{Вт} + 2160000 \, \text{Вт} = 2218800 \, \text{Вт}$

Наконец, найдем минимальную (затраченную) мощность насоса:

$P_{затр} = \frac{2218800 \, \text{Вт}}{0,6} = 3698000 \, \text{Вт}$

Переведем результат в мегаватты (МВт):

$3698000 \, \text{Вт} = 3,698 \, \text{МВт} \approx 3,7 \, \text{МВт}$

Ответ: минимальная мощность насоса должна быть $3,7 \, \text{МВт}$.