Номер 2, страница 145, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

2. Определите скорость полета струи воды из шприца диаметром 4 см, на поршень которого действует сила 30 Н. Площадь отверстия шприца много меньше площади поршня, сопротивлением воздуха пренебречь.

(Ответ: 6,9 м/с)

Дано:

Диаметр поршня шприца, $d = 4$ см

Сила, действующая на поршень, $F = 30$ Н

Плотность воды (табличное значение), $\rho \approx 1000$ кг/м³

$d = 4 \text{ см} = 0,04 \text{ м}$

Найти:

Скорость полета струи воды $\text{v}$.

Решение:

Для нахождения скорости вылетающей струи воспользуемся уравнением Бернулли, которое связывает давление, скорость и высоту для движущейся жидкости. Рассмотрим два сечения: сечение 1 внутри шприца у поверхности поршня и сечение 2 на выходе из отверстия шприца. Уравнение Бернулли для горизонтальной трубки имеет вид:

$P_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = P_2 + \frac{\rho v_2^2}{2}$

где $P_1$ и $v_1$ – давление и скорость воды у поршня, а $P_2$ и $v_2$ – давление и скорость воды на выходе из шприца.

Давление $P_1$ внутри шприца создается внешней силой $\text{F}$, приложенной к поршню площадью $\text{S}$, и атмосферным давлением $P_{атм}$:

$P_1 = P_{атм} + \frac{F}{S}$

Давление струи на выходе из шприца равно атмосферному давлению, $P_2 = P_{атм}$.

Подставим выражения для давлений в уравнение Бернулли:

$P_{атм} + \frac{F}{S} + \frac{\rho v_1^2}{2} = P_{атм} + \frac{\rho v_2^2}{2}$

Упростим уравнение, сократив $P_{атм}$:

$\frac{F}{S} + \frac{\rho v_1^2}{2} = \frac{\rho v_2^2}{2}$

По условию, площадь отверстия шприца ($\text{s}$) много меньше площади поршня ($\text{S}$). Из уравнения неразрывности потока ($v_1 S = v_2 s$) следует, что скорость движения поршня $v_1$ намного меньше скорости вытекающей струи $v_2$. Поэтому кинетической энергией воды внутри шприца ($\frac{\rho v_1^2}{2}$) можно пренебречь по сравнению с остальными членами уравнения.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$\frac{F}{S} \approx \frac{\rho v_2^2}{2}$

Выразим искомую скорость $v = v_2$:

$v = \sqrt{\frac{2F}{\rho S}}$

Площадь поршня $\text{S}$ найдем по формуле площади круга через диаметр $\text{d}$:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Произведем вычисления. Сначала найдем площадь поршня в системе СИ:

$S = \frac{\pi \cdot (0,04 \text{ м})^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0,0016 \text{ м}^2}{4} = 0,0004 \pi \text{ м}^2$

Теперь подставим все известные значения в формулу для скорости:

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 30 \text{ Н}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 0,0004 \pi \text{ м}^2}} = \sqrt{\frac{60}{0,4 \pi}} = \sqrt{\frac{150}{\pi}}$

Используя значение $\pi \approx 3,14159$:

$v \approx \sqrt{\frac{150}{3,14159}} \approx \sqrt{47,746} \approx 6,91$ м/с

Округляя результат, получаем значение, указанное в ответе к задаче.

Ответ: $v \approx 6,9$ м/с.