Номер 3, страница 140, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

3. В горизонтальной трубе газопровода диаметром 40 см течет газ со скоростью 50 см/с. Труба сужается и газ стал двигаться со скоростью 1,75 м/с. Каким стал диаметр трубы?

(Ответ: 21 см)

Дано:

$d_1 = 40 \text{ см}$

$v_1 = 50 \text{ см/с}$

$v_2 = 1.75 \text{ м/с}$

$d_1 = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$

$v_1 = 50 \text{ см/с} = 0.5 \text{ м/с}$

$v_2 = 1.75 \text{ м/с}$

Найти:

$d_2$ — ?

Решение:

Для решения данной задачи воспользуемся уравнением неразрывности (сохранения массы) для стационарного потока газа. Если считать газ практически несжимаемым (что допустимо при невысоких скоростях), то объемный расход газа в любом сечении трубы будет постоянным. Уравнение неразрывности имеет вид:

$A_1 v_1 = A_2 v_2$

где $A_1$ и $A_2$ — площади поперечного сечения трубы в начальном (широком) и конечном (узком) участках, а $v_1$ и $v_2$ — соответствующие скорости потока газа.

Площадь поперечного сечения круглой трубы вычисляется по формуле:

$A = \frac{\pi d^2}{4}$

где $\text{d}$ — диаметр трубы.

Подставим выражение для площади в уравнение неразрывности:

$\frac{\pi d_1^2}{4} v_1 = \frac{\pi d_2^2}{4} v_2$

Можно сократить общий множитель $\frac{\pi}{4}$ в обеих частях уравнения:

$d_1^2 v_1 = d_2^2 v_2$

Теперь выразим из этого соотношения искомый диаметр $d_2$:

$d_2^2 = \frac{d_1^2 v_1}{v_2}$

$d_2 = \sqrt{\frac{d_1^2 v_1}{v_2}} = d_1 \sqrt{\frac{v_1}{v_2}}$

Перед подстановкой числовых значений убедимся, что все величины выражены в одной системе единиц (СИ).

$d_1 = 0.4 \text{ м}$

$v_1 = 0.5 \text{ м/с}$

$v_2 = 1.75 \text{ м/с}$

Подставим значения в полученную формулу:

$d_2 = 0.4 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{0.5 \text{ м/с}}{1.75 \text{ м/с}}} = 0.4 \cdot \sqrt{\frac{0.5}{1.75}} \text{ м}$

$d_2 \approx 0.4 \cdot \sqrt{0.2857} \text{ м} \approx 0.4 \cdot 0.5345 \text{ м} \approx 0.2138 \text{ м}$

Переведем полученное значение диаметра в сантиметры, умножив на 100:

$d_2 \approx 0.2138 \cdot 100 \text{ см} \approx 21.38 \text{ см}$

Округлив результат до целого числа, получаем 21 см.

Ответ: 21 см.