Номер 3, страница 151, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

3. На какой высоте площадь поперечного сечения струи фонтана будет в пять раз больше площади выходного отверстия трубки? Скорость воды в выходном отверстии 10 м/с.

(Ответ: 4,8 м)

3. Дано:

Отношение площадей: $k = \frac{A_2}{A_1} = 5$

Скорость воды в выходном отверстии: $v_1 = 10$ м/с

Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Высоту $\text{h}$.

Решение:

Для решения этой задачи мы будем использовать два основных физических закона для идеальной жидкости: уравнение неразрывности (сохранения массы) и уравнение Бернулли (сохранения энергии).

1. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости гласит, что произведение площади поперечного сечения струи ($\text{A}$) на скорость течения ($\text{v}$) постоянно вдоль всей струи:

$A_1 v_1 = A_2 v_2$

где $A_1$ и $v_1$ – площадь и скорость у выходного отверстия, а $A_2$ и $v_2$ – площадь и скорость на искомой высоте $\text{h}$.

По условию задачи, на высоте $\text{h}$ площадь поперечного сечения струи в пять раз больше площади выходного отверстия: $A_2 = 5A_1$.

Подставим это соотношение в уравнение неразрывности:

$A_1 v_1 = (5A_1) v_2$

Сократив $A_1$, найдем связь между скоростями:

$v_2 = \frac{v_1}{5}$

2. Теперь применим уравнение Бернулли для двух точек: на уровне выходного отверстия (высота $h_1 = 0$) и на искомой высоте $h_2 = h$. Так как струя открыта, давление в обеих точках равно атмосферному ($p_1 = p_2 = p_{атм}$), и его можно исключить из уравнения. Уравнение Бернулли упрощается до закона сохранения механической энергии:

$\frac{\rho v_1^2}{2} + \rho g h_1 = \frac{\rho v_2^2}{2} + \rho g h_2$

где $\rho$ – плотность воды. Сократив на $\rho$ и подставив $h_1=0$, $h_2=h$, получим:

$\frac{v_1^2}{2} = \frac{v_2^2}{2} + gh$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $v_2$, которое мы нашли ранее ($v_2 = v_1/5$):

$\frac{v_1^2}{2} = \frac{(v_1/5)^2}{2} + gh$

$\frac{v_1^2}{2} = \frac{v_1^2}{25 \cdot 2} + gh$

$\frac{v_1^2}{2} - \frac{v_1^2}{50} = gh$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{25v_1^2 - v_1^2}{50} = gh$

$\frac{24v_1^2}{50} = gh$

Выразим искомую высоту $\text{h}$:

$h = \frac{24v_1^2}{50g} = \frac{12v_1^2}{25g}$

Подставим числовые значения. Чтобы получить ответ, указанный в задаче, примем $g = 10$ м/с²:

$h = \frac{12 \cdot (10 \text{ м/с})^2}{25 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{12 \cdot 100}{250} \text{ м} = \frac{1200}{250} \text{ м} = 4.8 \text{ м}$

Ответ: 4.8 м.