Номер 4, страница 151, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

4. Бак, заполненный водой до высоты 1 м, пробивает пуля на высоте 10 см. На какое расстояниеот бака будетбить струя воды? Гдеследовалобы сделатьотверстие, чтобы она била на максимальное расстояние?

(Ответ: 0,6 м; 0,5 м)

На какое расстояние от бака будет бить струя воды?

Дано:

$H = 1$ м (высота воды в баке)

$h_1 = 10$ см (высота, на которой пробито отверстие)

Перевод в систему СИ:

$h_1 = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

Найти:

$L_1$ — расстояние от бака, на которое будет бить струя.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой Торричелли для определения скорости вытекания жидкости и формулами кинематики для тела, брошенного горизонтально.

1. Скорость вытекания струи воды из отверстия определяется высотой столба жидкости над этим отверстием, которая равна $(H - h_1)$. По формуле Торричелли:

$v = \sqrt{2g(H - h_1)}$

где $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

2. Движение струи можно рассматривать как движение тела, брошенного горизонтально с высоты $h_1$ с начальной скоростью $\text{v}$. Время падения струи $\text{t}$ определяется только высотой $h_1$ и не зависит от горизонтальной скорости:

$h_1 = \frac{gt^2}{2}$

Отсюда время падения:

$t = \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$

3. Горизонтальное расстояние (дальность полета) $L_1$, которое пролетит струя, равно произведению горизонтальной скорости на время полета:

$L_1 = v \cdot t$

Подставим выражения для $\text{v}$ и $\text{t}$:

$L_1 = \sqrt{2g(H - h_1)} \cdot \sqrt{\frac{2h_1}{g}} = \sqrt{2g(H - h_1) \cdot \frac{2h_1}{g}}$

Ускорение свободного падения $\text{g}$ сокращается:

$L_1 = \sqrt{4h_1(H - h_1)} = 2\sqrt{h_1(H - h_1)}$

4. Подставим числовые значения в полученную формулу:

$L_1 = 2\sqrt{0,1 \cdot (1 - 0,1)} = 2\sqrt{0,1 \cdot 0,9} = 2\sqrt{0,09} = 2 \cdot 0,3 = 0,6$ м.

Ответ: 0,6 м.

Где следовало бы сделать отверстие, чтобы она била на максимальное расстояние?

Решение:

Дальность полета струи $\text{L}$ зависит от высоты отверстия $\text{h}$ по формуле, выведенной ранее:

$L(h) = 2\sqrt{h(H - h)}$

Чтобы найти высоту $h_{max}$, при которой дальность $\text{L}$ будет максимальной, нужно найти максимум этой функции. Максимум функции $L(h)$ достигается при том же значении $\text{h}$, что и максимум подкоренного выражения $f(h) = h(H - h) = Hh - h^2$.

Функция $f(h) = Hh - h^2$ является квадратичной, её график — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимальное значение такой функции достигается в её вершине. Координату вершины параболы $h_0$ для функции $f(x) = ax^2+bx+c$ можно найти по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $f(h) = -h^2 + Hh$, где переменная — $\text{h}$, $a=-1$, $b=H$.

$h_{max} = -\frac{H}{2(-1)} = \frac{H}{2}$

Таким образом, максимальная дальность полета струи достигается, когда отверстие сделано на половине высоты столба воды.

Рассчитаем это значение для нашего бака:

$h_{max} = \frac{1 \text{ м}}{2} = 0,5$ м.

Ответ: 0,5 м.