Исследуйте, страница 151, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

Исследуйте

Исследуйте зависимость скорости истечения воды из малого отверстия в открытом сосуде от уровня воды в сосуде. Сравните найденные вами значения с формулой Торричелли и сделайте выводы.

Исследуйте зависимость скорости истечения воды из малого отверстия в открытом сосуде от уровня воды в сосуде. Сравните найденные вами значения с формулой Торричелли и сделайте выводы.

Это задание представляет собой план экспериментального исследования. Ниже приведено теоретическое обоснование, методика проведения эксперимента и анализа результатов.

Дано:

Открытый сосуд с водой, имеющий малое отверстие на некоторой глубине.

$\text{h}$ – высота столба воды над отверстием, м

$\text{g}$ – ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$

Найти:

1. Экспериментально определить зависимость скорости истечения воды $\text{v}$ от высоты столба воды $\text{h}$.

2. Сравнить полученные экспериментальные данные с теоретическими значениями, рассчитанными по формуле Торричелли.

3. Сделать выводы о справедливости формулы и возможных причинах расхождений.

Решение:

1. Теоретическая основа: Формула Торричелли

Для идеальной несжимаемой жидкости, вытекающей из малого отверстия в широком открытом сосуде, скорость истечения определяется законом Торричелли. Этот закон является следствием закона сохранения энергии для жидкости (уравнения Бернулли).

Уравнение Бернулли для двух точек потока идеальной жидкости:

$p_1 + \rho g h_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \rho g h_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$

где $\text{p}$ – давление, $\rho$ – плотность, $\text{v}$ – скорость, $\text{h}$ – высота, $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Выберем точку 1 на поверхности воды в сосуде и точку 2 в месте истечения струи из отверстия. Примем уровень отверстия за нулевую высоту ($h_2 = 0$). Тогда высота воды над отверстием будет $h_1 = h$.

• Давление на поверхности воды $p_1$ и на выходе из отверстия $p_2$ равно атмосферному давлению $p_a$, так как сосуд открытый.
• Поскольку площадь поперечного сечения сосуда велика по сравнению с площадью отверстия, скорость понижения уровня воды в сосуде $v_1$ можно считать пренебрежимо малой ($v_1 \approx 0$).
• Скорость истечения из отверстия обозначим как $v_2 = v$.

Подставив эти условия в уравнение Бернулли, получаем:

$p_a + \rho g h + 0 = p_a + 0 + \frac{1}{2}\rho v^2$

$\rho g h = \frac{1}{2}\rho v^2$

Из этого следует формула Торричелли:

$v = \sqrt{2gh}$

Теоретически, скорость истечения воды равна скорости тела, свободно падающего с высоты $\text{h}$. Она зависит только от высоты столба жидкости над отверстием.

2. Проведение эксперимента

Для проверки формулы можно использовать метод, основанный на изучении траектории струи.

Оборудование: Пластиковая бутылка большого диаметра, линейка или рулетка, штатив с лапкой (для фиксации бутылки), емкость для сбора воды (таз), шило, маркер.

Порядок выполнения:

1. В нижней части бутылки проделайте небольшое круглое отверстие.

2. Установите бутылку на некоторой высоте над столом или тазом, например, закрепив в штативе. Измерьте высоту $\text{y}$ от центра отверстия до поверхности, на которую будет падать струя. Эта высота остается постоянной в ходе всего эксперимента.

3. На стенке бутылки нанесите несколько меток на разной высоте, чтобы измерять уровень воды $\text{h}$ над отверстием.

4. Закройте отверстие пальцем и налейте воду до верхней метки.

5. Откройте отверстие и измерьте с помощью линейки горизонтальное расстояние $\text{x}$, которое пролетает струя до падения. Чтобы уровень $\text{h}$ не менялся во время измерения, можно постоянно подливать воду, поддерживая ее уровень, либо проводить измерение очень быстро.

6. Повторите измерения для каждого отмеченного уровня воды $\text{h}$.

7. Результаты занесите в таблицу.

3. Анализ результатов

Струя воды движется подобно телу, брошенному горизонтально. Её движение можно разложить на две составляющие:

- Горизонтальное равномерное движение: $x = v_{эксп} \cdot t$

- Вертикальное свободное падение: $y = \frac{gt^2}{2}$

Из второго уравнения найдем время полета струи: $t = \sqrt{\frac{2y}{g}}$.

Подставив это время в первое уравнение, получим формулу для расчета экспериментальной скорости:

$x = v_{эксп} \sqrt{\frac{2y}{g}} \implies v_{эксп} = x \sqrt{\frac{g}{2y}}$

Пример таблицы для данных:

Для каждого значения $\text{h}$ рассчитайте $v_{эксп}$ и $v_{теор}$. Сравните их, вычислив относительное отклонение: $\epsilon = \frac{|v_{теор} - v_{эксп}|}{v_{теор}} \cdot 100\%$

4. Выводы

1. Зависимость скорости от высоты: Эксперимент показывает, что с увеличением высоты столба воды $\text{h}$ скорость истечения $\text{v}$ также увеличивается. Построение графика зависимости $\text{v}$ от $\sqrt{h}$ должно дать прямую линию, что подтверждает теоретическую зависимость $v \propto \sqrt{h}$.

2. Сравнение с формулой Торричелли: Как правило, экспериментально измеренная скорость $v_{эксп}$ оказывается немного меньше теоретической $v_{теор}$.

3. Причины расхождений:

- Вязкость жидкости. Формула Торричелли выведена для идеальной жидкости, не обладающей вязкостью. Реальная жидкость (вода) имеет вязкость, что приводит к потерям энергии на трение о стенки отверстия и внутреннее трение в потоке. Это уменьшает реальную скорость.

- Сжатие струи (vena contracta). При вытекании из отверстия струя жидкости сжимается, и ее эффективное сечение становится меньше площади отверстия. Из-за этого реальная скорость может отличаться от рассчитанной.

- Погрешности измерений. Неточности при измерении высот $\text{h}$ и $\text{y}$, а также дальности полета струи $\text{x}$ вносят вклад в погрешность конечного результата.

Ответ:

В ходе исследования устанавливается, что скорость истечения воды из отверстия в сосуде зависит от высоты столба воды над ним. Экспериментальные данные подтверждают, что эта зависимость близка к теоретической, описываемой формулой Торричелли $v = \sqrt{2gh}$, то есть скорость пропорциональна квадратному корню из высоты. Наблюдаемые в эксперименте значения скорости, как правило, несколько ниже теоретических, что объясняется неучтенными в идеальной модели факторами, такими как вязкость воды и явление сжатия струи, а также погрешностями измерений.