Номер 3, страница 171, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

3. Гелий находится при температуре 27°С. Кинетическая энергия теплового движения всех молекул газа 10 Дж. Определите число молекул гелия.

(Ответ: $1,6 \cdot 10^{21}$)

Дано:

Газ - гелий (He)

Температура, $t = 27^{\circ}C$

Кинетическая энергия всех молекул, $E_к = 10 \text{ Дж}$

Постоянная Больцмана, $k \approx 1,38 \cdot 10^{-23} \frac{\text{Дж}}{\text{К}}$

Перевод в систему СИ:

Абсолютная температура, $T = t + 273 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

Найти:

Число молекул гелия, $\text{N}$

Решение:

Полная кинетическая энергия теплового движения всех молекул идеального газа $E_к$ связана со средней кинетической энергией одной молекулы $\bar{E}_{k0}$ и числом молекул $\text{N}$ соотношением:

$E_к = N \cdot \bar{E}_{k0}$

Средняя кинетическая энергия одной молекулы идеального газа зависит от абсолютной температуры $\text{T}$ и числа степеней свободы $\text{i}$ молекулы:

$\bar{E}_{k0} = \frac{i}{2}kT$

где $\text{k}$ — постоянная Больцмана.

Гелий (He) — это одноатомный газ. Молекула одноатомного газа рассматривается как материальная точка и имеет три степени свободы поступательного движения (вдоль осей X, Y, Z). Таким образом, для гелия $i=3$.

Подставим значение $i=3$ в формулу для средней кинетической энергии одной молекулы:

$\bar{E}_{k0} = \frac{3}{2}kT$

Теперь объединим формулы, подставив выражение для $\bar{E}_{k0}$ в формулу для полной кинетической энергии:

$E_к = N \cdot \frac{3}{2}kT$

Из этого уравнения выразим искомое число молекул $\text{N}$:

$N = \frac{2 \cdot E_к}{3kT}$

Подставим в полученную формулу числовые значения из условия задачи:

$N = \frac{2 \cdot 10 \text{ Дж}}{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \frac{\text{Дж}}{\text{К}} \cdot 300 \text{ К}}$

Выполним вычисления:

$N = \frac{20}{3 \cdot 1,38 \cdot 300 \cdot 10^{-23}} = \frac{20}{1242 \cdot 10^{-23}} = \frac{20}{1,242 \cdot 10^3 \cdot 10^{-23}}$

$N \approx 16,1 \cdot 10^{20} \text{ молекул}$

Запишем ответ в стандартном виде:

$N \approx 1,61 \cdot 10^{21} \text{ молекул}$

Округлим до двух значащих цифр, как в ответе, приведенном в условии.

$N \approx 1,6 \cdot 10^{21}$

Ответ: число молекул гелия составляет примерно $1,6 \cdot 10^{21}$.