Номер 2, страница 177, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

2. До какой температуры $T_1$ при постоянном давлении $p = 10^5 \text{ Па}$ надо нагреть кислород, чтобы его плотность стала равна плотности водорода при том же давлении и температуре $T_2 = 200 \text{ K}$?

(Ответ: $3200 \text{ K}$)

Дано:

Газ 1: кислород (O₂)

Газ 2: водород (H₂)

Давление $p = 10^5$ Па

Температура водорода $T_2 = 200$ К

Плотность кислорода $\rho_1$ равна плотности водорода $\rho_2$: $\rho_1 = \rho_2$

Молярная масса кислорода $M_1 = 32 \times 10^{-3}$ кг/моль

Молярная масса водорода $M_2 = 2 \times 10^{-3}$ кг/моль

Универсальная газовая постоянная $R = 8.31$ Дж/(моль·К)

Все величины, кроме молярных масс, даны в системе СИ. Переведем молярные массы:

$M_1 = 32 \text{ г/моль} = 32 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}$

$M_2 = 2 \text{ г/моль} = 2 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Найти:

Температуру кислорода $T_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $\text{p}$ – давление, $\text{V}$ – объем, $\text{m}$ – масса газа, $\text{M}$ – молярная масса, $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ – абсолютная температура.

Плотность газа $\rho$ определяется как отношение массы к объему: $\rho = \frac{m}{V}$.

Выразим плотность из уравнения состояния идеального газа. Для этого разделим обе части уравнения на $\text{V}$:

$p = \frac{m}{V} \frac{RT}{M}$

Подставим выражение для плотности:

$p = \rho \frac{RT}{M}$

Отсюда выразим плотность:

$\rho = \frac{pM}{RT}$

Запишем это уравнение для кислорода (индекс 1) и водорода (индекс 2):

Плотность кислорода: $\rho_1 = \frac{pM_1}{RT_1}$

Плотность водорода: $\rho_2 = \frac{pM_2}{RT_2}$

По условию задачи, давление $\text{p}$ одинаково для обоих газов и плотности их равны $\rho_1 = \rho_2$. Приравняем выражения для плотностей:

$\frac{pM_1}{RT_1} = \frac{pM_2}{RT_2}$

Сократим одинаковые множители $\text{p}$ и $\text{R}$ в обеих частях уравнения:

$\frac{M_1}{T_1} = \frac{M_2}{T_2}$

Из этого соотношения выразим искомую температуру кислорода $T_1$:

$T_1 = T_2 \frac{M_1}{M_2}$

Подставим числовые значения:

$T_1 = 200 \text{ К} \cdot \frac{32 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}}{2 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}} = 200 \cdot \frac{32}{2} = 200 \cdot 16 = 3200 \text{ К}$

Ответ: $3200 \text{ К}$.