Номер 1, страница 81 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 3. Температура. Газовые законы. Параграф 3.9. Уравнение состояния идеального газа - номер 1, страница 81.

Условие.

? 1. Выведите уравнение состояния идеального газа.

Решение.

? 1.

Уравнение состояния идеального газа, также известное как уравнение Менделеева-Клапейрона, устанавливает связь между давлением ($\text{p}$), объемом ($\text{V}$) и абсолютной температурой ($\text{T}$) газа. Его вывод основан на объединении эмпирических газовых законов.

1. Объединенный газовый закон.

Для фиксированной массы газа ($m = \text{const}$) экспериментально были установлены следующие зависимости:

• Закон Бойля-Мариотта (при постоянной температуре, $T = \text{const}$): $p V = \text{const}$.
• Закон Гей-Люссака (при постоянном давлении, $p = \text{const}$): $\frac{V}{T} = \text{const}$.
• Закон Шарля (при постоянном объеме, $V = \text{const}$): $\frac{p}{T} = \text{const}$.

Эти три закона можно объединить в один. Рассмотрим произвольный процесс перехода газа из состояния 1 с параметрами ($p_1, V_1, T_1$) в состояние 2 с параметрами ($p_2, V_2, T_2$). Этот переход можно мысленно разбить на два этапа:

а) Изотермический процесс ($T_1 = \text{const}$), в ходе которого газ переходит из состояния ($p_1, V_1, T_1$) в промежуточное состояние ($p_*, V_2, T_1$). Согласно закону Бойля-Мариотта:

$p_1 V_1 = p_* V_2 \implies p_* = \frac{p_1 V_1}{V_2}$

б) Изохорный процесс ($V_2 = \text{const}$), в ходе которого газ переходит из промежуточного состояния ($p_*, V_2, T_1$) в конечное состояние ($p_2, V_2, T_2$). Согласно закону Шарля:

$\frac{p_*}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

Подставим выражение для $p_*$ из первого процесса во второй:

$\frac{p_1 V_1 / V_2}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

После преобразования получаем объединенный газовый закон (закон Клапейрона):

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$

Это означает, что для данной массы газа величина $\frac{pV}{T}$ остается постоянной:

$\frac{pV}{T} = \text{const}$

2. Учет количества вещества.

Константа в правой части объединенного газового закона зависит от количества вещества. Согласно закону Авогадро, в равных объемах различных газов при одинаковых температуре и давлении содержится одинаковое число молекул. Это означает, что константа пропорциональна количеству вещества $\nu$ (измеряемому в молях).

Коэффициент пропорциональности является фундаментальной физической константой и называется универсальной газовой постоянной, обозначаемой $\text{R}$.

Таким образом, константу можно записать как $\nu R$.

$\frac{pV}{T} = \nu R$

3. Уравнение состояния идеального газа.

Перенеся температуру $\text{T}$ в правую часть равенства, мы получаем окончательный вид уравнения состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона):

$pV = \nu R T$

где $\nu = \frac{m}{M}$ ($\text{m}$ — масса газа, $\text{M}$ — его молярная масса). Тогда уравнение можно записать и в таком виде:

$pV = \frac{m}{M} R T$

Это уравнение связывает все три макроскопических параметра идеального газа (давление, объем и температуру) с количеством вещества.

Ответ: Уравнение состояния идеального газа имеет вид $pV = \nu R T$, где $\text{p}$ — давление, $\text{V}$ — объем, $\nu$ — количество вещества, $\text{T}$ — абсолютная температура, а $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная.