Номер 2, страница 105 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 4. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 4.1. Системы с большим числом частиц и законы механики. Статистическая механика - номер 2, страница 105.

Условие.

2. Каким образом в статистической физике рассчитываются средние величины (на примере средней скорости)?

Решение.

2. В статистической физике, которая изучает системы с огромным числом частиц (например, газ в сосуде), макроскопические параметры (давление, температура) определяются как средние значения микроскопических величин (скорости, энергии частиц). Расчет таких средних значений — одна из центральных задач этого раздела физики.

Основным инструментом для расчета средних является функция распределения. Эта функция, обозначаемая обычно как $f(x)$, описывает, какая доля частиц системы находится в том или ином состоянии, характеризуемом параметром $\text{x}$ (например, $\text{x}$ может быть скоростью, энергией, координатой). Функция распределения показывает плотность вероятности обнаружить частицу с определенным значением параметра $\text{x}$.

Общий метод расчета среднего значения $\langle A \rangle$ любой физической величины $\text{A}$, зависящей от параметра $\text{x}$, заключается в следующем: значение величины $A(x)$ в каждом состоянии умножается на вероятность этого состояния $f(x)dx$ и затем результаты суммируются (интегрируются) по всем возможным состояниям:

$\langle A \rangle = \int A(x) f(x) dx$

Здесь интегрирование ведется по всему диапазону возможных значений параметра $\text{x}$. Функция распределения $f(x)$ считается нормированной, то есть $\int f(x) dx = 1$, что означает, что полная вероятность найти частицу в любом из состояний равна единице.

Рассмотрим этот принцип на примере расчета средней скорости молекул идеального газа. В состоянии теплового равновесия распределение молекул по модулям скоростей описывается функцией распределения Максвелла:

$f(v) = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 e^{-\frac{mv^2}{2kT}}$

где $\text{v}$ — модуль скорости, $\text{m}$ — масса молекулы, $\text{k}$ — постоянная Больцмана, а $\text{T}$ — абсолютная температура.

Для нахождения средней арифметической скорости $\langle v \rangle$ необходимо вычислить интеграл от произведения скорости $\text{v}$ на функцию распределения $f(v)$ по всем возможным скоростям от $\text{0}$ до $\infty$:

$\langle v \rangle = \int_0^\infty v \cdot f(v) dv = \int_0^\infty v \cdot 4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 e^{-\frac{mv^2}{2kT}} dv$

Вычисление этого интеграла дает конкретное значение для средней арифметической скорости:

$\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$

Стоит отметить, что средняя скорость как векторная величина $\langle \vec{v} \rangle$ для газа в состоянии покоя равна нулю, поскольку направления движения молекул хаотичны и равновероятны. Поэтому усредняют модуль скорости (средняя арифметическая скорость) или квадрат скорости (что приводит к понятию средней квадратичной скорости).

Таким образом, расчет средних величин в статистической физике основан на использовании функций распределения, которые позволяют усреднить микроскопические параметры по всему ансамблю частиц системы.

Ответ: Средние величины в статистической физике рассчитываются путем усреднения микроскопической величины по всем частицам системы с помощью функции распределения. Для этого значение величины для частицы умножается на вероятность нахождения частицы в данном состоянии (определяемую функцией распределения) и результат интегрируется по всем возможным состояниям. На примере средней арифметической скорости молекул газа $\langle v \rangle$, используется распределение Максвелла $f(v)$, и среднее значение вычисляется как интеграл $\langle v \rangle = \int_0^\infty v f(v) dv$. Результатом является формула $\langle v \rangle = \sqrt{8kT/(\pi m)}$, где $\text{k}$ – постоянная Больцмана, $\text{T}$ – абсолютная температура, $\text{m}$ – масса молекулы.