Номер 1, страница 110 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 4. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 4.3. Среднее значение скорости теплового движения молекул - номер 1, страница 110.

Условие.

? Каким образом определяются среднее значение проекций скорости и средний квадрат скорости молекул? Для чего необходимы данные величины?

Решение.

Каким образом определяются среднее значение проекций скорости и средний квадрат скорости молекул?

Молекулы любого вещества, в частности газа, находятся в непрерывном и хаотическом (беспорядочном) тепловом движении. Скорости отдельных молекул постоянно меняются по величине и направлению из-за столкновений. Для описания такого сложного движения используют статистические, то есть средние, величины.

Среднее значение проекций скорости. Поскольку движение молекул хаотично, все направления движения равновероятны. Это означает, что для любой оси координат (например, оси X) в любой момент времени количество молекул, движущихся в положительном направлении этой оси, в среднем равно количеству молекул, движущихся в отрицательном направлении. В результате, при усреднении по всем молекулам, сумма их проекций скоростей на любую ось оказывается равной нулю. Математически среднее значение проекции скорости определяется как среднее арифметическое проекций скоростей всех $\text{N}$ молекул:
$ \langle v_x \rangle = \frac{v_{1x} + v_{2x} + \dots + v_{Nx}}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} v_{ix} = 0 $
Аналогично, $ \langle v_y \rangle = 0 $ и $ \langle v_z \rangle = 0 $. Следовательно, и средний вектор скорости газа как целого равен нулю: $ \langle \vec{v} \rangle = 0 $ (если газ не движется как единое целое, т.е. нет ветра или потока).

Средний квадрат скорости. Равенство среднего значения скорости нулю не означает, что молекулы неподвижны. Оно лишь отражает хаотичность движения. Для характеристики интенсивности теплового движения используют средний квадрат скорости. Так как квадрат любой величины неотрицателен, эта средняя величина всегда будет положительной (кроме случая абсолютного нуля). Средний квадрат скорости определяется как среднее арифметическое квадратов скоростей всех молекул:
$ \langle v^2 \rangle = \frac{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_N^2}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} v_i^2 $
Из-за равноправия всех направлений средние значения квадратов проекций скорости на разные оси одинаковы: $ \langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle $. Так как квадрат модуля скорости связан с квадратами его проекций соотношением $ v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 $, то для средних значений справедливо:
$ \langle v^2 \rangle = \langle v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 \rangle = \langle v_x^2 \rangle + \langle v_y^2 \rangle + \langle v_z^2 \rangle = 3 \langle v_x^2 \rangle $
Отсюда следует, что средний квадрат проекции скорости в 3 раза меньше среднего квадрата модуля скорости: $ \langle v_x^2 \rangle = \frac{1}{3} \langle v^2 \rangle $.
Ответ: Среднее значение проекции скорости на любую ось определяется как среднее арифметическое этих проекций для всех молекул и равно нулю из-за хаотичности их движения. Средний квадрат скорости определяется как среднее арифметическое квадратов модулей скоростей всех молекул; эта величина не равна нулю и характеризует интенсивность теплового движения.

Для чего необходимы данные величины?

Эти величины являются основополагающими в молекулярно-кинетической теории (МКТ), так как они строят мост между микромиром (движение отдельных молекул) и макромиром (измеряемые параметры газа, такие как давление и температура).

1. Связь с давлением. Давление, которое газ оказывает на стенки сосуда, является результатом бесчисленных ударов молекул об эти стенки. Основное уравнение МКТ для идеального газа напрямую связывает макроскопическую величину — давление $\text{p}$ — с микроскопической характеристикой — средним квадратом скорости $ \langle v^2 \rangle $:
$ p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle $,
где $\text{n}$ — концентрация молекул, а $m_0$ — масса одной молекулы. Таким образом, измеряя давление, мы можем судить об интенсивности движения молекул.

2. Связь с температурой. Температура в МКТ является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул. Средняя кинетическая энергия одной молекулы $ \langle E_k \rangle $ выражается через средний квадрат скорости:
$ \langle E_k \rangle = \frac{m_0 \langle v^2 \rangle}{2} $
Теория показывает, что эта энергия прямо пропорциональна абсолютной температуре $\text{T}$:
$ \langle E_k \rangle = \frac{3}{2} k T $, где $\text{k}$ — постоянная Больцмана.
Объединив эти формулы, получаем прямую связь между температурой и средним квадратом скорости: $ \frac{m_0 \langle v^2 \rangle}{2} = \frac{3}{2} k T $. Это означает, что температура напрямую характеризует, насколько быстро в среднем движутся молекулы.

В то же время, равенство нулю средней проекции скорости является фундаментальным свойством, отражающим состояние термодинамического равновесия и отсутствие в системе направленных потоков вещества.
Ответ: Данные величины необходимы для количественного описания теплового движения и для установления связи между микроскопическими характеристиками молекул (их скоростью и энергией) и макроскопическими параметрами состояния вещества (давлением и температурой), которые можно измерить экспериментально.