Номер 2, страница 115 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 4. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 4.4. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории - номер 2, страница 115.

Условие.

2. Выведите основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа.

Решение.

Решение

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) устанавливает связь между давлением идеального газа ($\text{p}$), которое является макроскопическим параметром, и его микроскопическими характеристиками: концентрацией молекул ($\text{n}$), массой одной молекулы ($m_0$) и средней квадратичной скоростью их движения ($\overline{v^2}$).

Для вывода этого уравнения рассмотрим модель идеального газа: $\text{N}$ молекул массой $m_0$ каждая находятся в герметичном сосуде кубической формы с длиной ребра $\text{L}$. Молекулы находятся в непрерывном хаотическом движении, а их столкновения друг с другом и со стенками сосуда абсолютно упругие.

1. Выберем одну молекулу, движущуюся со скоростью $\vec{v}$. Разложим ее вектор скорости на три компоненты по осям координат: $v_x, v_y, v_z$.

2. Рассмотрим столкновение этой молекулы со стенкой сосуда, перпендикулярной оси $\text{OX}$. Вследствие упругого удара, компонента скорости $v_x$ изменит направление на противоположное (станет $-v_x$), в то время как компоненты $v_y$ и $v_z$ останутся без изменений. Проекция импульса молекулы на ось $\text{OX}$ до удара равна $m_0 v_x$, а после удара — $-m_0 v_x$.

3. Изменение импульса молекулы при одном таком столкновении равно: $\Delta p_{x} = (-m_0 v_x) - (m_0 v_x) = -2m_0 v_x$.

4. Согласно третьему закону Ньютона, импульс, переданный молекулой стенке, равен по модулю и противоположен по знаку изменению импульса самой молекулы: $I_{стенке} = -\Delta p_{x} = 2m_0 v_x$.

5. Молекула будет сталкиваться с этой же стенкой через определенные промежутки времени $\Delta t$. За это время она должна пройти расстояние $\text{2L}$ вдоль оси $\text{OX}$ (до противоположной стенки и обратно). Таким образом, время между двумя последовательными столкновениями: $\Delta t = \frac{2L}{v_x}$.

6. Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, средняя сила, с которой одна молекула действует на стенку, равна отношению переданного импульса ко времени, за которое он был передан: $F_1 = \frac{I_{стенке}}{\Delta t} = \frac{2m_0 v_x}{2L/v_x} = \frac{m_0 v_x^2}{L}$.

7. Поскольку в сосуде находится большое число $\text{N}$ молекул, движущихся с различными скоростями, общая сила $\text{F}$, действующая на стенку, будет равна сумме сил от каждой из них: $F = \sum_{i=1}^{N} F_{1i} = \sum_{i=1}^{N} \frac{m_0 v_{ix}^2}{L} = \frac{m_0}{L} \sum_{i=1}^{N} v_{ix}^2$.

8. Введем понятие средней квадратичной скорости проекции на ось $\text{OX}$, $\overline{v_x^2}$, как среднее арифметическое квадратов проекций скоростей всех молекул: $\overline{v_x^2} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} v_{ix}^2$. Отсюда $\sum_{i=1}^{N} v_{ix}^2 = N\overline{v_x^2}$. Тогда сила, действующая на стенку, примет вид: $F = \frac{m_0 N \overline{v_x^2}}{L}$.

9. Давление $\text{p}$ определяется как отношение силы $\text{F}$ к площади $\text{S}$ поверхности, на которую она действует. Площадь стенки куба $S = L^2$. $p = \frac{F}{S} = \frac{m_0 N \overline{v_x^2}}{L \cdot L^2} = \frac{m_0 N \overline{v_x^2}}{L^3}$. Так как объем куба $V = L^3$, получаем: $p V = N m_0 \overline{v_x^2}$.

10. В силу хаотичности движения молекул все направления равноправны, поэтому средние значения квадратов проекций скорости на оси координат равны между собой: $\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2}$. Полный квадрат скорости молекулы $v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$. Усреднив это равенство по всем молекулам, получим: $\overline{v^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2} = 3\overline{v_x^2}$. Из этого соотношения следует, что $\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}$.

11. Подставим полученное выражение для $\overline{v_x^2}$ в формулу для давления: $p = \frac{N m_0}{V} \left( \frac{1}{3}\overline{v^2} \right) = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m_0 \overline{v^2}$.

Отношение числа молекул $\text{N}$ к объему $\text{V}$ есть концентрация молекул $n = N/V$. В итоге мы приходим к основному уравнению молекулярно-кинетической теории идеального газа.

Ответ: Основное уравнение молекулярно-кинетической теории имеет вид: $p = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$. Его также можно записать через среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул $\overline{E_k} = \frac{m_0 \overline{v^2}}{2}$: $p = \frac{2}{3} n \overline{E_k}$.