Номер 2, страница 127 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 4. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 4.6. Распределение Максвелла - номер 2, страница 127.

Условие.

2. Что характеризует функция распределения молекул по скоростям, по проекциям скоростей?

Решение.

Функция распределения молекул по скоростям (или по проекциям скоростей) является статистической характеристикой. Она описывает, какая доля от общего числа молекул идеального газа, находящегося в состоянии теплового равновесия, обладает скоростями (или проекциями скоростей), лежащими в определенном интервале. Эти распределения были теоретически выведены Джеймсом Клерком Максвеллом в рамках молекулярно-кинетической теории.

Функция распределения молекул по скоростям

Эта функция, также известная как распределение Максвелла по модулю скорости, обозначается как $f(v)$ и характеризует относительное число молекул $dN/N$, абсолютные значения (модули) скоростей которых лежат в малом интервале от $\text{v}$ до $v+dv$. Математически это выражается как:

$ \frac{dN}{N} = f(v)dv $

где $\text{dN}$ — число молекул со скоростями в интервале $[v, v+dv]$, а $\text{N}$ — общее число молекул в системе.

Физический смысл функции $f(v)$ заключается в том, что она является плотностью вероятности обнаружить молекулу со скоростью, близкой к значению $\text{v}$. График этой функции показывает, как молекулы "распределены" по различным значениям скоростей. Вид функции распределения Максвелла:

$ f(v) = 4\pi \left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 e^{-\frac{m_0 v^2}{2kT}} $

где $m_0$ — масса одной молекулы, $\text{k}$ — постоянная Больцмана, $\text{T}$ — абсолютная температура.

Ключевые характеристики этого распределения:

1. Оно несимметрично. Наличие множителя $v^2$ означает, что при $v \to 0$ функция стремится к нулю. Экспоненциальный множитель $e^{-\frac{m_0 v^2}{2kT}}$ обеспечивает быстрое убывание функции при больших скоростях.

2. График функции начинается от нуля ($f(0)=0$), достигает максимума при наиболее вероятной скорости ($v_{в}$), а затем асимптотически стремится к нулю.

3. С ростом температуры максимум функции смещается в сторону больших скоростей, а само распределение становится более "размытым", что отражает увеличение средней кинетической энергии молекул.

Ответ: Функция распределения молекул по скоростям характеризует долю молекул идеального газа, модули скоростей которых находятся в заданном интервале. Она показывает, что скорости молекул не одинаковы, а подчиняются определенному статистическому закону (распределению Максвелла), зависящему от температуры газа и массы молекул.

Функция распределения молекул по проекциям скоростей

Эта функция характеризует распределение молекул по значениям проекции вектора скорости на какую-либо одну координатную ось, например, на ось X. Она обозначается как $f(v_x)$ и определяет относительное число молекул $dN_x/N$, у которых проекция скорости на ось Х лежит в интервале от $v_x$ до $v_x+dv_x$:

$ \frac{dN_x}{N} = f(v_x)dv_x $

Эта функция имеет вид нормального (гауссова) распределения:

$ f(v_x) = \left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)^{1/2} e^{-\frac{m_0 v_x^2}{2kT}} $

Ключевые характеристики этого распределения:

1. Оно симметрично относительно $v_x = 0$. Это отражает тот факт, что в газе, находящемся в покое, нет выделенного направления движения, и для любой молекулы вероятность двигаться в положительном направлении оси Х или в отрицательном одинакова.

2. Максимум распределения находится при $v_x = 0$. Это означает, что наиболее вероятное значение проекции скорости на любую ось равно нулю.

3. В силу изотропности пространства (равноправия всех направлений) распределения для проекций скоростей на оси Y ($f(v_y)$) и Z ($f(v_z)$) имеют точно такой же вид.

4. С ростом температуры "колокол" Гаусса становится более широким и приземистым, что свидетельствует об увеличении разброса значений проекций скоростей молекул.

Ответ: Функция распределения молекул по проекциям скоростей характеризует долю молекул, проекция скорости которых на заданную ось находится в определенном интервале. Она показывает, что проекции скоростей распределены по нормальному закону (закону Гаусса) симметрично относительно нуля, и наиболее вероятное значение для любой проекции скорости равно нулю.