Номер 2, страница 132 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 4. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 4.7. Измерение скоростей молекул газа - номер 2, страница 132.

Условие.

2. Как рассчитать среднюю квадратичную скорость движения молекул?

Решение.

Средняя квадратичная скорость движения молекул — это статистическая величина, характеризующая тепловое движение частиц в системе (например, в газе). Она определяется как квадратный корень из среднего арифметического значения квадратов скоростей отдельных молекул. Эта скорость является важным параметром в молекулярно-кинетической теории, так как напрямую связана со средней кинетической энергией молекул и, следовательно, с температурой вещества.

Рассчитать среднюю квадратичную скорость можно, исходя из связи между средней кинетической энергией поступательного движения молекул $E_k$ и абсолютной температурой $\text{T}$. Согласно молекулярно-кинетической теории, $E_k = \frac{3}{2}kT$. В то же время, по определению, $E_k = \frac{m_0 \overline{v^2}}{2}$, где $m_0$ — масса одной молекулы, а $\overline{v^2}$ — средний квадрат скорости. Приравнивая эти выражения и выражая среднюю квадратичную скорость $v_{кв} = \sqrt{\overline{v^2}}$, получаем первую формулу: $v_{кв} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}}$. В этой формуле $\text{k}$ — постоянная Больцмана ($1.38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К), $\text{T}$ — абсолютная температура в кельвинах (К), а $m_0$ — масса одной молекулы в килограммах (кг).

Поскольку работать с массой одной молекулы не всегда удобно, можно использовать молярную массу $\text{M}$. Учитывая, что масса молекулы $m_0 = \frac{M}{N_A}$ (где $N_A$ — число Авогадро) и универсальная газовая постоянная $R = k \cdot N_A$, первую формулу можно преобразовать к более удобному виду: $v_{кв} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$. Здесь $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная (8,31 Дж/(моль·К)), $\text{T}$ — абсолютная температура в кельвинах (К), а $\text{M}$ — молярная масса в килограммах на моль (кг/моль).

Также среднюю квадратичную скорость можно выразить через макроскопические параметры газа — давление $\text{p}$ и плотность $\rho$. Из уравнения состояния идеального газа $pV = \frac{m}{M}RT$ следует, что $\frac{RT}{M} = \frac{p}{\rho}$, где $\rho = \frac{m}{V}$. Подставив это соотношение в предыдущую формулу, получим: $v_{кв} = \sqrt{\frac{3p}{\rho}}$. В этом случае давление $\text{p}$ должно быть выражено в паскалях (Па), а плотность $\rho$ — в килограммах на кубический метр (кг/м³).

Ответ: Среднюю квадратичную скорость движения молекул можно рассчитать по одной из трех основных формул, в зависимости от того, какие параметры известны:
1. Через абсолютную температуру ($\text{T}$) и массу одной молекулы ($m_0$): $v_{кв} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}}$, где $\text{k}$ – постоянная Больцмана.
2. Через абсолютную температуру ($\text{T}$) и молярную массу ($\text{M}$): $v_{кв} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$, где $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная.
3. Через давление ($\text{p}$) и плотность ($\rho$) газа: $v_{кв} = \sqrt{\frac{3p}{\rho}}$.