Номер 4, страница 135 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 4. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 4.8. Внутренняя энергия идеального газа - номер 4, страница 135.

Условие.

4. Сформулируйте определение понятия «степень свободы».

Решение.

Решение

В физике и механике степень свободы — это минимальное число независимых координат (параметров), необходимых для полного и однозначного описания положения и конфигурации механической системы в пространстве в любой момент времени. Другими словами, это число независимых возможных движений системы.

Количество степеней свободы системы, обозначаемое как $\text{i}$, можно определить, зная число частиц в системе ($\text{N}$) и количество наложенных связей ($\text{k}$), которые ограничивают движение этих частиц. Для системы из $\text{N}$ материальных точек, не связанных между собой, в трёхмерном пространстве общее число степеней свободы было бы $\text{3N}$. Каждая независимая связь (уравнение связи) уменьшает число степеней свободы на единицу. Таким образом, в общем случае:
$i = 3N - k$

Рассмотрим примеры для различных систем:

Для материальной точки (N=1):
- Свободная материальная точка в трёхмерном пространстве имеет три степени свободы. Её положение определяется тремя декартовыми координатами ($x, y, z$). Это три поступательные степени свободы.
- Материальная точка, вынужденная двигаться по поверхности (например, шарик на столе), имеет две степени свободы. Хотя точка находится в трёхмерном пространстве, уравнение поверхности $f(x, y, z) = 0$ является одной связью ($k=1$), уменьшающей число степеней свободы на одну: $i = 3 \cdot 1 - 1 = 2$.
- Материальная точка, движущаяся вдоль кривой (например, бусинка на проволоке), имеет одну степень свободы. Её положение можно задать одной координатой, например, длиной дуги от некоторой начальной точки. Здесь наложены две связи ($k=2$), например, два уравнения, задающие кривую в пространстве: $i = 3 \cdot 1 - 2 = 1$.

Для твёрдого тела:
- Свободное абсолютно твёрдое тело в пространстве имеет шесть степеней свободы. Три из них соответствуют поступательному движению центра масс тела вдоль трёх координатных осей ($x, y, z$), а три другие — вращательному движению тела вокруг этих осей.

В молекулярной физике (для молекул идеального газа):
- Одноатомная молекула (например, гелий He, аргон Ar) рассматривается как материальная точка, поэтому у неё $i=3$ (только поступательные степени свободы).
- Двухатомная жёсткая молекула (например, кислород $O_2$, азот $N_2$) имеет $i=5$ степеней свободы: 3 поступательные (движение центра масс) и 2 вращательные (вращение вокруг двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс). Вращением вокруг оси, соединяющей атомы, пренебрегают из-за крайне малого момента инерции.
- Трёхатомная и более сложная нелинейная молекула (например, вода $H_2O$, метан $CH_4$) имеет $i=6$ степеней свободы: 3 поступательные и 3 вращательные.

При достаточно высоких температурах к поступательным и вращательным степеням свободы добавляются колебательные степени свободы, связанные с изменением расстояний между атомами в молекуле.

Понятие степеней свободы является ключевым в законе о равномерном распределении энергии по степеням свободы (закон Больцмана), согласно которому в состоянии термодинамического равновесия на каждую поступательную и вращательную степень свободы в среднем приходится энергия $\frac{1}{2}kT$, а на каждую колебательную — $\text{kT}$, где $\text{k}$ — постоянная Больцмана, а $\text{T}$ — абсолютная температура.

Ответ: Степень свободы — это количество независимых переменных (координат), которые необходимо и достаточно задать для полного определения положения механической системы в пространстве. Это число равно количеству независимых видов движений, которые может совершать система.