Номер 2, страница 138 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 4. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 4.9. Примеры решения задач. Упражнение 3 - номер 2, страница 138.

Условие.

2. На стенку площадью $\text{S}$ налетает поток молекул со средней скоростью $\bar{v}$. Число молекул, движущихся по направлению к стенке, в единице объёма $n_0$, масса каждой молекулы $m_0$. Найдите действующую на стенку силу и давление, если молекулы движутся перпендикулярно стенке и удары молекул о стенку абсолютно неупругие.

Решение.

Дано:

Площадь стенки: $\text{S}$

Средняя скорость молекул: $\bar{v}$

Концентрация молекул, движущихся к стенке: $n_0$

Масса одной молекулы: $m_0$

Удары молекул о стенку являются абсолютно неупругими.

Найти:

Силу, действующую на стенку: $\text{F}$

Давление на стенку: $\text{p}$

Решение:

Сила, действующая на стенку, по второму закону Ньютона, равна изменению полного импульса всех молекул, столкнувшихся со стенкой, за единицу времени:

$F = \frac{\Delta P_{total}}{\Delta t}$

Рассмотрим промежуток времени $\Delta t$. За это время до стенки долетят и столкнутся с ней все молекулы, которые находятся в объеме $\text{V}$, прилегающем к стенке. Поскольку молекулы движутся перпендикулярно стенке со средней скоростью $\bar{v}$, этот объем представляет собой цилиндр (или параллелепипед) с площадью основания $\text{S}$ и высотой $h = \bar{v} \Delta t$.

Объем этого пространства равен:

$V = S \cdot h = S \bar{v} \Delta t$

Число молекул $\text{N}$, находящихся в этом объеме, можно найти, умножив их концентрацию $n_0$ на объем $\text{V}$:

$N = n_0 \cdot V = n_0 S \bar{v} \Delta t$

Теперь определим изменение импульса одной молекулы при столкновении со стенкой. Начальный импульс молекулы, движущейся к стенке, равен $p_{1} = m_0 \bar{v}$. Поскольку удар абсолютно неупругий, молекула после столкновения останавливается (или "прилипает" к стенке), и её конечный импульс равен $p_{2} = 0$.

Изменение импульса одной молекулы составляет:

$\Delta p_{мол} = p_{2} - p_{1} = 0 - m_0 \bar{v} = -m_0 \bar{v}$

По третьему закону Ньютона (или закону сохранения импульса для системы "молекула-стенка"), импульс, который молекула передает стенке, равен по модулю и противоположен по знаку изменению импульса самой молекулы:

$\Delta p_{ст} = - \Delta p_{мол} = -(-m_0 \bar{v}) = m_0 \bar{v}$

Полный импульс $\Delta P_{total}$, переданный стенке за время $\Delta t$ всеми $\text{N}$ молекулами, равен произведению числа молекул на импульс, переданный каждой из них:

$\Delta P_{total} = N \cdot \Delta p_{ст} = (n_0 S \bar{v} \Delta t) \cdot (m_0 \bar{v}) = n_0 m_0 \bar{v}^2 S \Delta t$

Подставим это выражение в формулу для силы:

$F = \frac{\Delta P_{total}}{\Delta t} = \frac{n_0 m_0 \bar{v}^2 S \Delta t}{\Delta t} = n_0 m_0 \bar{v}^2 S$

Давление $\text{p}$ по определению есть сила, действующая на единицу площади:

$p = \frac{F}{S} = \frac{n_0 m_0 \bar{v}^2 S}{S} = n_0 m_0 \bar{v}^2$

Ответ: Сила, действующая на стенку: $F = n_0 m_0 \bar{v}^2 S$.

Давление на стенку: $p = n_0 m_0 \bar{v}^2$.