Номер 9, страница 139 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 4. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 4.9. Примеры решения задач. Упражнение 3 - номер 9, страница 139.

Условие.

9. Плотность смеси азота и водорода при температуре $t = 47 ^\circ\mathrm{C}$ и давлении $p = 2 \, \text{атм}$ равна $\rho= 0,3 \, \mathrm{г/л}$. Найдите концентрации молекул азота и водорода в смеси.

Решение.

Дано:

Смесь газов: азот (N₂) и водород (H₂)

Температура смеси $t = 47$ °C

Давление смеси $p = 2$ атм

Плотность смеси $ρ = 0,3$ г/л

$T = 47 \text{ °C} + 273 = 320 \text{ К}$
$p = 2 \text{ атм} = 2 \cdot 1,013 \cdot 10^5 \text{ Па} = 2,026 \cdot 10^5 \text{ Па}$
$ρ = 0,3 \text{ г/л} = 0,3 \frac{10^{-3} \text{ кг}}{10^{-3} \text{ м}^3} = 0,3 \text{ кг/м}^3$

Найти:

Концентрацию молекул азота $n_1$ и водорода $n_2$.

Решение:

Будем рассматривать смесь газов как идеальный газ. Давление и плотность смеси можно выразить через концентрации и массы молекул компонентов.

Обозначим концентрацию молекул азота (N₂) как $n_1$, а концентрацию молекул водорода (H₂) как $n_2$.

Полное давление смеси, согласно закону Дальтона, равно сумме парциальных давлений компонентов. Парциальное давление каждого компонента связано с его концентрацией $n_i$ и температурой $\text{T}$ соотношением $p_i = n_i k T$, где $\text{k}$ - постоянная Больцмана ($k \approx 1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К). Тогда полное давление смеси:

$p = p_1 + p_2 = n_1 k T + n_2 k T = (n_1 + n_2) k T$

Плотность смеси равна сумме плотностей ее компонентов. Плотность каждого компонента равна $ρ_i = n_i m_{0i}$, где $m_{0i}$ - масса одной молекулы. Таким образом, плотность смеси:

$ρ = ρ_1 + ρ_2 = n_1 m_{01} + n_2 m_{02}$

Здесь $m_{01}$ - масса молекулы азота (N₂), а $m_{02}$ - масса молекулы водорода (H₂). Вычислим эти массы, используя молярные массы $M_1 = 28 \cdot 10^{-3}$ кг/моль для азота и $M_2 = 2 \cdot 10^{-3}$ кг/моль для водорода, а также число Авогадро $N_A \approx 6,02 \cdot 10^{23}$ моль⁻¹.

$m_{01} = \frac{M_1}{N_A} = \frac{28 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 4,65 \cdot 10^{-26}$ кг

$m_{02} = \frac{M_2}{N_A} = \frac{2 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 0,332 \cdot 10^{-26}$ кг

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $n_1$ и $n_2$:

$\begin{cases} n_1 + n_2 = \frac{p}{kT} \\ n_1 m_{01} + n_2 m_{02} = ρ \end{cases}$

Из первого уравнения найдем общую концентрацию молекул в смеси, обозначив ее $\text{n}$:

$n = n_1 + n_2 = \frac{2,026 \cdot 10^5 \text{ Па}}{1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К} \cdot 320 \text{ К}} \approx 4,59 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}$

Выразим $n_1$ из первого уравнения: $n_1 = n - n_2$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$(n - n_2) m_{01} + n_2 m_{02} = ρ$

$n m_{01} - n_2 m_{01} + n_2 m_{02} = ρ$

$n_2 (m_{02} - m_{01}) = ρ - n m_{01}$

$n_2 = \frac{ρ - n m_{01}}{m_{02} - m_{01}}$

Подставим числовые значения:

$n_2 = \frac{0,3 - (4,59 \cdot 10^{25}) \cdot (4,65 \cdot 10^{-26})}{0,332 \cdot 10^{-26} - 4,65 \cdot 10^{-26}} = \frac{0,3 - 2,134}{-4,318 \cdot 10^{-26}} = \frac{-1,834}{-4,318 \cdot 10^{-26}} \approx 4,25 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}$

Теперь найдем концентрацию молекул азота:

$n_1 = n - n_2 = 4,59 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3} - 4,25 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3} = 0,34 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3} = 3,4 \cdot 10^{24} \text{ м}^{-3}$

Ответ: Концентрация молекул азота $n_1 \approx 3,4 \cdot 10^{24} \text{ м}^{-3}$, концентрация молекул водорода $n_2 \approx 4,25 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}$.