Номер 10, страница 139 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 4. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 4.9. Примеры решения задач. Упражнение 3 - номер 10, страница 139.

Условие.

10. Ампула объёмом $V = 1 \text{ см}^3$, содержащая воздух при нормальных условиях, оставлена в космосе, где давление можно считать равным нулю. В ампуле проделано отверстие. Через какое время давление в ампуле станет равным нулю, если считать, что через отверстие каждую секунду вылетает 100 млн молекул?

Решение.

Дано:

Объём ампулы: $V = 1 \text{ см}^3$
Начальные условия: нормальные (н.у.)
Скорость утечки молекул: $R = 100 \text{ млн молекул/с}$

$V = 1 \text{ см}^3 = 1 \times (10^{-2} \text{ м})^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$
Нормальные условия (н.у.): давление $p_0 = 101325 \text{ Па}$, температура $T_0 = 273,15 \text{ К}$
$R = 100 \times 10^6 \text{ молекул/с} = 10^8 \text{ молекул/с}$

Найти:

Время $t - ?$

Решение:

Давление в ампуле станет равным нулю, когда все молекулы воздуха покинут её. Чтобы найти время, необходимое для этого, нужно сначала определить общее количество молекул $\text{N}$ в ампуле при нормальных условиях, а затем разделить это количество на скорость утечки молекул $\text{R}$.

1. Найдём начальное количество молекул $\text{N}$ в ампуле, используя уравнение состояния идеального газа $p V = N k T$. В этом уравнении $\text{p}$ – давление газа, $\text{V}$ – объём газа, $\text{N}$ – количество молекул, $\text{k}$ – постоянная Больцмана ($k \approx 1,38 \times 10^{-23} \text{ Дж/К}$), и $\text{T}$ – абсолютная температура.

Выразим $\text{N}$ из уравнения:

$N = \frac{p_0 V}{k T_0}$

Подставим значения для нормальных условий (н.у.) в системе СИ:

$N = \frac{101325 \text{ Па} \times 10^{-6} \text{ м}^3}{1,38 \times 10^{-23} \text{ Дж/К} \times 273,15 \text{ К}} \approx 2,69 \times 10^{19}$

Таким образом, в ампуле изначально содержится примерно $2,69 \times 10^{19}$ молекул воздуха.

2. Теперь найдём время $\text{t}$, за которое все эти молекулы покинут ампулу. Оно равно отношению общего числа молекул к скорости их утечки:

$t = \frac{N}{R}$

Подставим известные значения:

$t = \frac{2,69 \times 10^{19}}{10^8 \text{ с}^{-1}} = 2,69 \times 10^{11} \text{ с}$

Полученное время очень велико, поэтому для наглядности его можно перевести в годы. Учитывая, что в одном году примерно $3,156 \times 10^7$ секунд ($365,25 \text{ суток} \times 24 \text{ часа} \times 3600 \text{ с}$):

$t \approx \frac{2,69 \times 10^{11} \text{ с}}{3,156 \times 10^7 \text{ с/год}} \approx 8520 \text{ лет}$

Ответ: давление в ампуле станет равным нулю примерно через $2,69 \times 10^{11}$ секунд (что составляет около 8520 лет).