Номер 11, страница 139 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 4. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 4.9. Примеры решения задач. Упражнение 3 - номер 11, страница 139.

Условие.

11. При повышении температуры идеального газа на 150 К средняя квадратичная скорость его молекул возросла с 400 до 500 м/с. На сколько надо нагреть этот газ, чтобы увеличить среднюю квадратичную скорость его молекул от 500 до 600 м/с?

Решение.

Дано:

$ΔT_1 = 150$ К
$v_1 = 400$ м/с
$v_2 = 500$ м/с
$v_3 = 600$ м/с

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

$ΔT_2$

Решение:

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа связана с его абсолютной температурой $\text{T}$ следующим соотношением: $E_k = \frac{1}{2} m_0 \overline{v^2} = \frac{3}{2} kT$ где $m_0$ – масса одной молекулы, $\overline{v^2}$ – средний квадрат скорости молекул, а $\text{k}$ – постоянная Больцмана.

Средняя квадратичная скорость молекул $v_{ск}$ определяется как $v_{ск} = \sqrt{\overline{v^2}}$. Следовательно, $\overline{v^2} = v_{ск}^2$.

Подставив это в формулу для энергии, получим: $\frac{1}{2} m_0 v_{ск}^2 = \frac{3}{2} kT$

Из этого выражения можно выразить температуру: $T = \frac{m_0}{3k} v_{ск}^2$

Поскольку для данного газа величины $m_0$ и $\text{k}$ постоянны, можно утверждать, что абсолютная температура прямо пропорциональна квадрату средней квадратичной скорости: $T = C \cdot v_{ск}^2$, где $C = \frac{m_0}{3k}$ – некоторая константа.

Рассмотрим первый этап нагревания газа. Температура изменилась на $ΔT_1 = T_2 - T_1$, а скорость возросла с $v_1$ до $v_2$. $T_1 = C \cdot v_1^2$ $T_2 = C \cdot v_2^2$ $ΔT_1 = T_2 - T_1 = C \cdot v_2^2 - C \cdot v_1^2 = C(v_2^2 - v_1^2)$

Теперь рассмотрим второй этап нагревания. Требуется найти изменение температуры $ΔT_2 = T_3 - T_2$, чтобы скорость возросла с $v_2$ до $v_3$. $T_3 = C \cdot v_3^2$ $ΔT_2 = T_3 - T_2 = C \cdot v_3^2 - C \cdot v_2^2 = C(v_3^2 - v_2^2)$

Мы получили систему из двух уравнений: 1) $ΔT_1 = C(v_2^2 - v_1^2)$ 2) $ΔT_2 = C(v_3^2 - v_2^2)$

Чтобы найти $ΔT_2$, разделим второе уравнение на первое. Это позволит исключить неизвестную константу $\text{C}$. $\frac{ΔT_2}{ΔT_1} = \frac{C(v_3^2 - v_2^2)}{C(v_2^2 - v_1^2)} = \frac{v_3^2 - v_2^2}{v_2^2 - v_1^2}$

Подставим известные значения: $ΔT_1 = 150$ К, $v_1 = 400$ м/с, $v_2 = 500$ м/с, $v_3 = 600$ м/с. $\frac{ΔT_2}{150} = \frac{600^2 - 500^2}{500^2 - 400^2}$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $\frac{ΔT_2}{150} = \frac{(600-500)(600+500)}{(500-400)(500+400)} = \frac{100 \cdot 1100}{100 \cdot 900} = \frac{1100}{900} = \frac{11}{9}$

Теперь выразим и вычислим $ΔT_2$: $ΔT_2 = 150 \cdot \frac{11}{9} = \frac{1650}{9} = \frac{550}{3} \approx 183,3$ К.

Ответ: чтобы увеличить среднюю квадратичную скорость молекул от 500 до 600 м/с, газ надо нагреть на 183,3 К.