Номер 8, страница 138 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 4. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 4.9. Примеры решения задач. Упражнение 3 - номер 8, страница 138.

Условие.

8. Сколько молекул воздуха выходит из комнаты объёмом $V_0$ при повышении температуры от $T_1$ до $T_2$? Атмосферное давление равно $p_0$.

Решение.

Дано:
Объем комнаты: $V_0$
Начальная температура воздуха: $T_1$
Конечная температура воздуха: $T_2$
Атмосферное давление: $p_0$

Найти:

Число молекул воздуха, вышедших из комнаты: $\Delta N$

Решение:
Будем считать воздух в комнате идеальным газом. Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева-Клапейрона, которое можно записать через число молекул $\text{N}$ и постоянную Больцмана $\text{k}$:
$pV = NkT$
Поскольку комната не является герметичной (сообщается с атмосферой), давление воздуха в ней при нагревании остается постоянным и равным атмосферному давлению $p_0$. Таким образом, процесс нагревания воздуха является изобарным.

В начальном состоянии при температуре $T_1$ в комнате объемом $V_0$ находится $N_1$ молекул воздуха. Для этого состояния уравнение имеет вид:
$p_0 V_0 = N_1 k T_1$
Отсюда начальное число молекул в комнате:
$N_1 = \frac{p_0 V_0}{k T_1}$

После повышения температуры до $T_2$ часть воздуха выходит из комнаты. В комнате остается $N_2$ молекул, которые занимают тот же объем $V_0$. Для конечного состояния уравнение имеет вид:
$p_0 V_0 = N_2 k T_2$
Отсюда конечное число молекул в комнате:
$N_2 = \frac{p_0 V_0}{k T_2}$

Число молекул, вышедших из комнаты, равно разности между начальным и конечным числом молекул в комнате:
$\Delta N = N_1 - N_2$
Подставим выражения для $N_1$ и $N_2$:
$\Delta N = \frac{p_0 V_0}{k T_1} - \frac{p_0 V_0}{k T_2}$
Вынесем общий множитель за скобки:
$\Delta N = \frac{p_0 V_0}{k} \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
$\Delta N = \frac{p_0 V_0}{k} \left(\frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2}\right)$

Ответ: $\Delta N = \frac{p_0 V_0 (T_2 - T_1)}{k T_1 T_2}$