Номер 5, страница 138 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 4. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 4.9. Примеры решения задач. Упражнение 3 - номер 5, страница 138.

Условие.

5. Определите плотность газа, молекулы которого производят на стенки сосуда давление $1,6 \cdot 10^5$ Па. Средняя квадратичная скорость молекул $800$ м/с.

Решение.

Дано:

Давление газа $P = 1,6 \cdot 10^5$ Па

Средняя квадратичная скорость молекул $\upsilon_{кв} = 800$ м/с

Все величины представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Плотность газа $\rho$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории (МКТ) идеального газа, которое связывает давление газа с его микроскопическими параметрами:

$P = \frac{1}{3} n m_0 \langle\upsilon^2\rangle$

где $\text{P}$ – давление, $\text{n}$ – концентрация молекул (число молекул в единице объема), $m_0$ – масса одной молекулы, а $\langle\upsilon^2\rangle$ – средний квадрат скорости молекул.

Средняя квадратичная скорость $\upsilon_{кв}$ по определению равна корню из среднего квадрата скорости: $\upsilon_{кв} = \sqrt{\langle\upsilon^2\rangle}$, откуда следует, что $\langle\upsilon^2\rangle = \upsilon_{кв}^2$.

Плотность газа $\rho$ определяется как масса газа в единице объема. Она связана с концентрацией молекул и массой одной молекулы соотношением:

$\rho = n \cdot m_0$

Подставим выражение для плотности $\rho$ и квадрата средней квадратичной скорости $\upsilon_{кв}^2$ в основное уравнение МКТ:

$P = \frac{1}{3} (n m_0) \upsilon_{кв}^2 = \frac{1}{3} \rho \upsilon_{кв}^2$

Из полученного соотношения выразим искомую плотность газа $\rho$:

$3P = \rho \upsilon_{кв}^2$

$\rho = \frac{3P}{\upsilon_{кв}^2}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$\rho = \frac{3 \cdot 1,6 \cdot 10^5 \text{ Па}}{(800 \text{ м/с})^2} = \frac{4,8 \cdot 10^5}{640000} = \frac{4,8 \cdot 10^5}{6,4 \cdot 10^5} = \frac{4,8}{6,4} = \frac{48}{64}$

Сократим дробь на 16:

$\rho = \frac{3}{4} = 0,75 \text{ кг/м}^3$

Ответ: плотность газа равна $0,75 \text{ кг/м}^3$.