Номер 1, страница 161 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 5. Законы термодинамики. Параграф 5.6. Теплоёмкости газа при постоянном объёме и постоянном давлении - номер 1, страница 161.

Условие.

? 1. Рассчитайте теплоёмкость газа при постоянном объёме, постоянном давлении.

Решение.

Теплоёмкость газа при постоянном объёме

Теплоёмкость при постоянном объёме ($C_V$) — это количество теплоты, которое необходимо сообщить газу для повышения его температуры на 1 Кельвин при условии, что объём газа не меняется.

Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты $\text{Q}$, переданное системе, идёт на изменение её внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение системой работы $\text{A}$ против внешних сил:

$Q = \Delta U + A$

При постоянном объёме (в изохорном процессе, $V = \text{const}$) газ не совершает работу, так как $\Delta V = 0$, следовательно, $A = p\Delta V = 0$. В этом случае всё подводимое тепло идёт на увеличение внутренней энергии газа:

$Q_V = \Delta U$

Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры и для одного моля газа определяется формулой:

$U = \frac{i}{2}RT$

где $\text{i}$ — число степеней свободы молекул газа, а $R \approx 8,31 \frac{Дж}{моль \cdot К}$ — универсальная газовая постоянная.

Тогда изменение внутренней энергии при изменении температуры на $\Delta T$ равно $\Delta U = \frac{i}{2}R\Delta T$.

Молярная теплоёмкость при постоянном объёме $C_{V,m}$ по определению равна $C_{V,m} = \frac{Q_V}{\Delta T}$. Подставив выражение для $Q_V$, получим:

$C_{V,m} = \frac{\Delta U}{\Delta T} = \frac{\frac{i}{2}R\Delta T}{\Delta T} = \frac{i}{2}R$

Число степеней свободы $\text{i}$ зависит от строения молекулы газа:

• для одноатомного газа (He, Ne, Ar) $i = 3$, $C_{V,m} = \frac{3}{2}R$;
• для двухатомного газа (H₂, O₂, N₂) $i = 5$, $C_{V,m} = \frac{5}{2}R$;
• для многоатомного газа (CO₂, H₂O, CH₄) $i = 6$, $C_{V,m} = \frac{6}{2}R = 3R$.

Ответ: Молярная теплоёмкость идеального газа при постоянном объёме рассчитывается по формуле $C_{V,m} = \frac{i}{2}R$, где $\text{i}$ — число степеней свободы молекул газа, а $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная.

Теплоёмкость газа при постоянном давлении

Теплоёмкость при постоянном давлении ($C_p$) — это количество теплоты, которое необходимо сообщить газу для повышения его температуры на 1 Кельвин при условии, что давление газа не меняется.

При постоянном давлении (в изобарном процессе, $p = \text{const}$) подводимое тепло $Q_p$ расходуется не только на изменение внутренней энергии $\Delta U$, но и на совершение газом работы $\text{A}$ при расширении:

$Q_p = \Delta U + A$

Изменение внутренней энергии $\Delta U$ для идеального газа зависит только от изменения температуры и не зависит от процесса, поэтому $\Delta U = C_{V,m}\Delta T = \frac{i}{2}R\Delta T$ (для одного моля).

Работа, совершаемая одним молем газа при изобарном расширении, равна $A = p\Delta V$. Согласно уравнению состояния идеального газа для одного моля $pV=RT$, при постоянном давлении $p\Delta V = R\Delta T$. Таким образом, $A = R\Delta T$.

Подставим выражения для $\Delta U$ и $\text{A}$ в первое начало термодинамики:

$Q_p = \frac{i}{2}R\Delta T + R\Delta T = (\frac{i}{2} + 1)R\Delta T$

Молярная теплоёмкость при постоянном давлении $C_{p,m}$ по определению равна $C_{p,m} = \frac{Q_p}{\Delta T}$. Получаем:

$C_{p,m} = \frac{(\frac{i}{2} + 1)R\Delta T}{\Delta T} = (\frac{i}{2} + 1)R$

Сравнивая формулы для $C_{p,m}$ и $C_{V,m}$, получаем уравнение Майера:

$C_{p,m} = C_{V,m} + R$

Это означает, что теплоёмкость при постоянном давлении всегда больше теплоёмкости при постоянном объёме, так как при изобарном нагревании часть тепла расходуется на работу расширения газа.

• для одноатомного газа ($i = 3$): $C_{p,m} = (\frac{3}{2}+1)R = \frac{5}{2}R$;
• для двухатомного газа ($i = 5$): $C_{p,m} = (\frac{5}{2}+1)R = \frac{7}{2}R$;
• для многоатомного газа ($i = 6$): $C_{p,m} = (3+1)R = 4R$.

Ответ: Молярная теплоёмкость идеального газа при постоянном давлении рассчитывается по формуле $C_{p,m} = (\frac{i}{2} + 1)R$, или используя уравнение Майера: $C_{p,m} = C_{V,m} + R$.