Номер 2, страница 161 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 5. Законы термодинамики. Параграф 5.6. Теплоёмкости газа при постоянном объёме и постоянном давлении - номер 2, страница 161.

Условие.

2. Почему молярная теплоёмкость при изобарном процессе больше молярной теплоёмкости при изохорном процессе?

Решение.

Решение

Чтобы понять, почему молярная теплоёмкость при изобарном процессе ($C_p$) больше молярной теплоёмкости при изохорном процессе ($C_V$), необходимо обратиться к первому началу термодинамики. Оно гласит, что количество теплоты ($\text{Q}$), переданное системе, идёт на изменение её внутренней энергии ($\Delta U$) и на совершение системой работы ($\text{A}$) над внешними телами:
$Q = \Delta U + A$

Молярная теплоёмкость ($\text{C}$) по определению — это количество теплоты, которое необходимо сообщить одному молю вещества для его нагревания на один кельвин ($\text{1}$ К). Математически это выражается как:
$C = \frac{Q}{\nu\Delta T}$
где $\nu$ — количество вещества (число молей), а $\Delta T$ — изменение температуры.

Рассмотрим два процесса для идеального газа:

1. Изохорный процесс (нагревание при постоянном объёме, $V = const$)
Поскольку объём газа не меняется ($\Delta V = 0$), работа, совершаемая газом ($A = p\Delta V$), равна нулю.
$A = 0$
Тогда, согласно первому началу термодинамики, вся подводимая теплота ($Q_V$) идёт только на увеличение внутренней энергии газа:
$Q_V = \Delta U$
Следовательно, молярная теплоёмкость при постоянном объёме равна:
$C_V = \frac{Q_V}{\nu\Delta T} = \frac{\Delta U}{\nu\Delta T}$

2. Изобарный процесс (нагревание при постоянном давлении, $p = const$)
При нагревании газа при постоянном давлении его объём увеличивается ($\Delta V > 0$), чтобы давление оставалось постоянным. Это означает, что газ совершает работу над внешними телами (например, толкает поршень).
$A = p\Delta V > 0$
В этом случае подводимая теплота ($Q_p$) расходуется и на увеличение внутренней энергии ($\Delta U$), и на совершение работы ($\text{A}$):
$Q_p = \Delta U + A$
Соответственно, молярная теплоёмкость при постоянном давлении равна:
$C_p = \frac{Q_p}{\nu\Delta T} = \frac{\Delta U + A}{\nu\Delta T}$

Сравнение $C_p$ и $C_V$
Для идеального газа изменение внутренней энергии ($\Delta U$) зависит только от изменения температуры ($\Delta T$) и не зависит от процесса (изменения объёма или давления). Поэтому, если мы нагреваем одинаковое количество молей газа на одинаковую температуру $\Delta T$ в обоих процессах, изменение внутренней энергии $\Delta U$ будет одинаковым.

Сравнивая выражения для теплоты $Q_p$ и $Q_V$:
$Q_p = \Delta U + A$
$Q_V = \Delta U$
Так как при изобарном процессе совершается положительная работа ($A > 0$), то для достижения одинакового изменения температуры $\Delta T$ требуется подвести большее количество теплоты: $Q_p > Q_V$.

Из этого напрямую следует, что и молярная теплоёмкость при постоянном давлении будет больше:
$C_p = \frac{Q_p}{\nu\Delta T} > \frac{Q_V}{\nu\Delta T} = C_V$
Разница между ними как раз равна работе, совершаемой одним молем газа при нагревании на $\text{1}$ К. Для идеального газа эта разница равна универсальной газовой постоянной $\text{R}$ (это соотношение известно как уравнение Майера):
$C_p - C_V = R$

Ответ: Молярная теплоёмкость при изобарном процессе больше, чем при изохорном, потому что при постоянном давлении подводимая теплота расходуется не только на увеличение внутренней энергии газа (нагревание), но и на совершение газом работы при его расширении. При постоянном объёме газ не расширяется и работы не совершает, поэтому вся подведенная теплота идёт только на увеличение внутренней энергии. Следовательно, для повышения температуры на ту же величину при постоянном давлении требуется сообщить газу большее количество теплоты.