Номер 4, страница 115 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Положите на линейку ластик. Начинайте поднимать линейку за один конец. Измерьте угол, при котором ластик начнёт скользить по линейке. Докажите, что тангенс этого угла равен коэффициенту трения: $tg\alpha = \mu$.

Для доказательства утверждения рассмотрим силы, действующие на ластик, который находится на наклонной плоскости (линейке) под углом $ \alpha $. Этот угол соответствует моменту, когда ластик готов начать движение, но еще находится в состоянии равновесия (на грани соскальзывания).

На ластик действуют следующие силы:

• Сила тяжести $ m\vec{g} $, направленная вертикально вниз.
• Сила нормальной реакции опоры $ \vec{N} $, направленная перпендикулярно поверхности линейки.
• Максимальная сила трения покоя $ \vec{F}_{тр} $, направленная вдоль поверхности линейки вверх, так как она препятствует скольжению вниз.

Решение

Выберем систему координат, в которой ось $ Ox $ направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $ Oy $ — перпендикулярно плоскости вверх. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси. Поскольку тело находится на грани скольжения, его ускорение равно нулю, и векторная сумма всех сил, действующих на него, также равна нулю.

Спроектируем силу тяжести на выбранные оси. Проекция на ось $ Ox $ (скатывающая сила) равна $ F_{gx} = mg \sin\alpha $. Проекция на ось $ Oy $ (сила, прижимающая тело к плоскости) равна $ F_{gy} = mg \cos\alpha $.

Запишем уравнения равновесия для каждой оси.

Для оси $ Oy $: $ \sum F_y = N - mg \cos\alpha = 0 $. Отсюда получаем выражение для силы нормальной реакции опоры: $ N = mg \cos\alpha $.

Для оси $ Ox $: $ \sum F_x = mg \sin\alpha - F_{тр} = 0 $. Отсюда сила трения равна скатывающей силе: $ F_{тр} = mg \sin\alpha $.

По определению, сила трения покоя в момент начала скольжения достигает своего максимального значения, которое связано с коэффициентом трения покоя $ \mu $ и силой нормальной реакции $ N $ соотношением: $ F_{тр} = F_{тр_{max}} = \mu N $.

Приравнивая два полученных выражения для силы трения $ F_{тр} $, получаем: $ mg \sin\alpha = \mu N $.

Подставим в это равенство найденное ранее выражение для $ N $: $ mg \sin\alpha = \mu (mg \cos\alpha) $.

Сокращаем $ mg $ с обеих сторон уравнения, так как масса ластика и ускорение свободного падения не равны нулю: $ \sin\alpha = \mu \cos\alpha $.

Чтобы найти $ \mu $, разделим обе части уравнения на $ \cos\alpha $. Это возможно, так как для начала скольжения угол $ \alpha $ должен быть в интервале $ (0, 90^\circ) $, где $ \cos\alpha \neq 0 $. В результате получаем: $ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \mu $.

Из тригонометрии известно, что отношение синуса угла к косинусу того же угла равно его тангенсу: $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.

Следовательно, мы приходим к искомому равенству: $ \text{tg}\alpha = \mu $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что тангенс угла наклона $ \alpha $, при котором тело начинает скользить, равен коэффициенту трения $ \mu $ между телом и поверхностью: $ \text{tg}\alpha = \mu $.