Номер 3, страница 112 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Рис. 3.21

3. Ящик массой 100 кг удерживается на наклонной плоскости на высоте 0,5 м закреплённой у основания пружиной, жёсткость которой равна $10^4$ Н/м (рис. 3.21). Определите длину пружины в недеформированном состоянии. Угол у основания наклонной плоскости равен $30^\circ$. Трением можно пренебречь.

Дано:

$m = 100$ кг

$h = 0.5$ м

$k = 10^4$ Н/м

$\alpha = 30^\circ$

$g = 10$ м/с$^2$ (примем ускорение свободного падения равным 10 м/с$^2$)

Найти:

$L_0$ — длина пружины в недеформированном состоянии.

Решение:

Ящик находится в равновесии на наклонной плоскости. Это означает, что сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. Рассмотрим силы, действующие на ящик вдоль наклонной плоскости.

На ящик действуют две силы в проекции на ось, параллельную наклонной плоскости:

1. Проекция силы тяжести, направленная вниз вдоль наклонной плоскости: $F_{т \parallel} = mg \sin \alpha$.
2. Сила упругости пружины, направленная вверх вдоль наклонной плоскости: $F_{упр} = k \Delta L$, где $\Delta L$ — сжатие пружины.

Так как ящик находится в равновесии, эти силы уравновешивают друг друга:

$F_{упр} = F_{т \parallel}$

$k \Delta L = mg \sin \alpha$

Отсюда мы можем выразить величину сжатия пружины $\Delta L$:

$\Delta L = \frac{mg \sin \alpha}{k}$

Текущая длина сжатой пружины $L$ связана с высотой $h$ и углом наклона $\alpha$ через тригонометрическое соотношение в прямоугольном треугольнике:

$\sin \alpha = \frac{h}{L}$

Отсюда находим текущую длину пружины:

$L = \frac{h}{\sin \alpha}$

Длина пружины в недеформированном состоянии $L_0$ равна сумме её текущей (сжатой) длины $L$ и величины сжатия $\Delta L$:

$L_0 = L + \Delta L$

Подставим выражения для $L$ и $\Delta L$:

$L_0 = \frac{h}{\sin \alpha} + \frac{mg \sin \alpha}{k}$

Теперь подставим числовые значения и произведем расчеты.

Вычислим текущую длину пружины $L$:

$L = \frac{0.5 \text{ м}}{\sin 30^\circ} = \frac{0.5 \text{ м}}{0.5} = 1 \text{ м}$

Вычислим величину сжатия пружины $\Delta L$:

$\Delta L = \frac{100 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot \sin 30^\circ}{10^4 \text{ Н/м}} = \frac{1000 \text{ Н} \cdot 0.5}{10000 \text{ Н/м}} = \frac{500 \text{ Н}}{10000 \text{ Н/м}} = 0.05 \text{ м}$

Наконец, найдем длину пружины в недеформированном состоянии $L_0$:

$L_0 = L + \Delta L = 1 \text{ м} + 0.05 \text{ м} = 1.05 \text{ м}$

Ответ: длина пружины в недеформированном состоянии равна $1.05$ м.