Номер 1, страница 263 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Обсудить в классе. Параграф 79. Внутренняя энергия. Глава 13. Основы термодинамики - номер 1, страница 263.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Выведите выражение (13.1).

Задачей является вывод основного уравнения молекулярно-кинетической теории (МКТ) идеального газа, которое связывает давление газа с микроскопическими параметрами его молекул. Будем считать, что выражение (13.1), которое требуется вывести, и есть это уравнение.

Дано:

Рассматривается идеальный газ, состоящий из $N$ молекул, находящихся в сосуде объемом $V$.

$N$ - число молекул в сосуде (безразмерная величина).

$m_0$ - масса одной молекулы (в СИ измеряется в кг).

$\vec{v}$ - скорость молекулы (в СИ измеряется в м/с).

$\langle v^2 \rangle$ - средняя квадратичная скорость молекул (в СИ измеряется в м²/с²).

$V$ - объем сосуда (в СИ измеряется в м³).

Найти:

Вывести формулу для давления $P$, создаваемого газом на стенки сосуда.

Решение:

1. Для упрощения вывода будем рассматривать сосуд в форме куба с ребром длиной $L$. Тогда объем сосуда равен $V = L^3$. Введем декартову систему координат, оси которой ($Ox, Oy, Oz$) параллельны ребрам куба.

2. Давление газа на стенки сосуда является результатом многочисленных ударов молекул о них. Рассмотрим удар одной молекулы о стенку, перпендикулярную оси $Ox$. В рамках модели идеального газа удары молекул о стенки считаются абсолютно упругими.

3. При абсолютно упругом ударе о неподвижную стенку, перпендикулярную оси $Ox$, проекция скорости молекулы $v_x$ изменяет свой знак на противоположный, в то время как проекции $v_y$ и $v_z$ остаются неизменными. Следовательно, изменение импульса молекулы в результате одного такого столкновения составляет:

$\Delta p_x = p_{x, \text{конечный}} - p_{x, \text{начальный}} = m_0(-v_x) - m_0v_x = -2m_0v_x$

4. По третьему закону Ньютона, импульс, переданный молекулой стенке при ударе, равен по модулю и противоположен по знаку изменению импульса самой молекулы:

$\Delta p_{\text{стенки}} = - \Delta p_x = 2m_0v_x$

5. Найдем интервал времени $\Delta t$ между двумя последовательными ударами одной и той же молекулы об одну и ту же стенку. За это время молекула должна преодолеть расстояние $2L$ вдоль оси $Ox$ (от стенки до противоположной и обратно). Таким образом, время равно:

$\Delta t = \frac{2L}{|v_x|}$

6. Сила, с которой одна молекула в среднем действует на стенку, определяется как импульс, переданный стенке за единицу времени:

$F_{1x} = \frac{\Delta p_{\text{стенки}}}{\Delta t} = \frac{2m_0v_x}{2L/|v_x|} = \frac{m_0v_x^2}{L}$

7. Чтобы найти общую силу $F_x$, действующую на данную стенку, необходимо просуммировать силы, создаваемые всеми $N$ молекулами газа:

$F_x = \sum_{i=1}^{N} F_{i,x} = \sum_{i=1}^{N} \frac{m_0v_{ix}^2}{L} = \frac{m_0}{L} \sum_{i=1}^{N} v_{ix}^2$

где $v_{ix}$ — это проекция скорости $i$-й молекулы на ось $Ox$.

8. Введем среднее значение квадрата проекции скорости на ось $Ox$: $\langle v_x^2 \rangle = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} v_{ix}^2$. Из этого определения следует, что $\sum_{i=1}^{N} v_{ix}^2 = N \langle v_x^2 \rangle$. Подставив это в выражение для силы, получим:

$F_x = \frac{m_0N}{L} \langle v_x^2 \rangle$

9. Из-за хаотичности теплового движения молекул все направления в пространстве являются равноправными. Это означает, что средние значения квадратов проекций скоростей на координатные оси равны между собой:

$\langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle$

Средний квадрат скорости молекулы $\langle v^2 \rangle$ (величина, пропорциональная кинетической энергии) связан со средними квадратами проекций следующим соотношением:

$\langle v^2 \rangle = \langle v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 \rangle = \langle v_x^2 \rangle + \langle v_y^2 \rangle + \langle v_z^2 \rangle = 3\langle v_x^2 \rangle$

Отсюда можно выразить средний квадрат проекции скорости: $\langle v_x^2 \rangle = \frac{1}{3}\langle v^2 \rangle$.

10. Подставим это выражение в формулу для силы, действующей на стенку:

$F_x = \frac{m_0N}{L} \cdot \frac{1}{3}\langle v^2 \rangle = \frac{1}{3}\frac{N m_0 \langle v^2 \rangle}{L}$

11. Давление $P$ по определению есть отношение силы, действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности $S = L^2$:

$P = \frac{F_x}{S} = \frac{\frac{1}{3}\frac{N m_0 \langle v^2 \rangle}{L}}{L^2} = \frac{1}{3}\frac{N m_0 \langle v^2 \rangle}{L^3}$

12. Учитывая, что $V = L^3$ — это объем куба (сосуда), и вводя концентрацию молекул $n = N/V$, получаем искомое выражение, известное как основное уравнение МКТ:

$P = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m_0 \langle v^2 \rangle = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$

Это уравнение также можно записать в других формах, например:

$PV = \frac{1}{3} N m_0 \langle v^2 \rangle$

Или через среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы $\langle E_k \rangle = \frac{m_0 \langle v^2 \rangle}{2}$:

$P = \frac{2}{3} n \left( \frac{m_0 \langle v^2 \rangle}{2} \right) = \frac{2}{3} n \langle E_k \rangle$

Ответ: Основное уравнение молекулярно-кинетической теории, которое, предположительно, является выражением (13.1), имеет вид: $P = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$, где $P$ - давление газа, $n$ - концентрация молекул, $m_0$ - масса одной молекулы, а $\langle v^2 \rangle$ - средний квадрат скорости молекул.