Номер 1, страница 328 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Обсудить в классе. Параграф 99. Потенциальная энергия заряженного тела в однородном электростатическом поле. Глава 14. Электростатика - номер 1, страница 328.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Изобразите схематично однородное электрическое поле и начертите несколько траекторий, по которым движется заряд q. Покажите, что работа поля не зависит от траектории.

Решение

Однородное электрическое поле — это поле, в каждой точке которого вектор напряженности $\vec{E}$ одинаков по модулю и направлению. Схематично его изображают в виде набора параллельных, равноотстоящих друг от друга силовых линий, направленных в одну сторону.

Рассмотрим движение заряда $q$ в таком поле из начальной точки 1 в конечную точку 2. Мы не можем нарисовать изображение, но можем его описать. Представим, что силовые линии поля направлены вертикально вниз. Пусть заряд перемещается между точками 1 и 2 по разным траекториям:

• Траектория I: Прямая линия, соединяющая точки 1 и 2.
• Траектория II: Ломаная линия, например, сначала перемещение по горизонтали до тех пор, пока заряд не окажется на одной вертикали с точкой 2, а затем перемещение по вертикали до точки 2.
• Траектория III: Произвольная кривая линия, соединяющая точки 1 и 2.

Работа $A$, совершаемая силой электростатического поля $\vec{F} = q\vec{E}$ при перемещении заряда $q$ из точки 1 в точку 2, определяется как интеграл по траектории:

$A = \int_1^2 \vec{F} \cdot d\vec{l} = \int_1^2 q\vec{E} \cdot d\vec{l}$

где $d\vec{l}$ — вектор элементарного перемещения вдоль траектории.

Поскольку в однородном поле вектор напряженности $\vec{E}$ постоянен ($\vec{E} = \text{const}$), его и заряд $q$ можно вынести за знак интеграла:

$A = q\vec{E} \cdot \int_1^2 d\vec{l}$

Интеграл $\int_1^2 d\vec{l}$ представляет собой вектор полного перемещения $\vec{d}$, направленный из начальной точки 1 в конечную точку 2. Этот вектор $\vec{d}$ не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек.

Таким образом, работа поля равна:

$A = q\vec{E} \cdot \vec{d}$

Это выражение показывает, что работа зависит только от заряда $q$, напряженности поля $\vec{E}$ и вектора перемещения $\vec{d}$ (т.е. от начальной и конечной точек), но не от пути между ними.

Чтобы показать это более наглядно, введем систему координат. Пусть ось $y$ направлена против вектора напряженности $\vec{E}$ (т.е. $\vec{E}$ направлен вдоль оси $-y$). Тогда $\vec{E}$ имеет координаты $(0, -E)$. Пусть координаты начальной точки 1 — $(x_1, y_1)$, а конечной точки 2 — $(x_2, y_2)$. Вектор перемещения $\vec{d}$ будет иметь координаты $(x_2-x_1, y_2-y_1)$.

Тогда работа вычисляется как скалярное произведение векторов:

$A = q \cdot (E_x d_x + E_y d_y) = q \cdot (0 \cdot (x_2-x_1) + (-E) \cdot (y_2-y_1)) = -qE(y_2-y_1) = qE(y_1-y_2)$

Как видно из итоговой формулы, работа $A$ зависит только от разности "высот" ($y_1-y_2$) между начальной и конечной точками, но не от их горизонтального смещения ($x_2-x_1$) или от формы пути между ними. Следовательно, для всех трех рассмотренных траекторий (и любой другой траектории между точками 1 и 2) работа электрического поля будет одинаковой. Это свойство называется потенциальностью электростатического поля.

Ответ: Работа, совершаемая силами однородного электростатического поля при перемещении заряда, не зависит от формы траектории движения, а определяется только начальным и конечным положением заряда. Это следует из того, что работа $A$ равна скалярному произведению постоянной по всему полю силы $q\vec{E}$ на вектор перемещения $\vec{d}$, который соединяет начальную и конечную точки: $A = q\vec{E} \cdot \vec{d}$. Так как вектор перемещения $\vec{d}$ зависит только от координат начальной и конечной точек, то и работа не зависит от траектории.