Номер 3, страница 47 - гдз по физике 10 класс учебник Закирова, Аширов

3. Одна половина цилиндрического стержня состоит из стали, другая – из алюминия. Определить положение центра тяжести, если длина стержня 30 см.

Дано:

Длина стержня $L = 30$ см.

Стержень состоит из двух равных по длине частей: стальной и алюминиевой.

Плотность стали (справочное значение) $\rho_{ст} = 7850$ кг/м³.

Плотность алюминия (справочное значение) $\rho_{ал} = 2700$ кг/м³.

$L = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

Найти:

Положение центра тяжести стержня $x_{цт}$.

Решение:

Центр тяжести (или центр масс в однородном гравитационном поле) составного стержня можно найти, рассматривая его как систему из двух однородных тел (стального и алюминиевого цилиндров). Положение центра тяжести для такой системы вдоль одной оси определяется по формуле:

$x_{цт} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$

где $m_1$ и $m_2$ — массы частей стержня, а $x_1$ и $x_2$ — координаты центров тяжести этих частей.

Расположим стержень вдоль оси Ох. Для удобства вычислений поместим начало координат (x=0) в точку соединения стальной и алюминиевой частей. Пусть алюминиевая часть находится в области отрицательных координат, а стальная — в области положительных.

Длина каждой половины стержня равна $l = L/2 = 30/2 = 15$ см.

Алюминиевая часть стержня (тело 1) занимает отрезок от $-15$ см до $0$. Ее центр тяжести, как у однородного тела, находится посередине, то есть в точке $x_1 = -l/2 = -15/2 = -7.5$ см.

Стальная часть стержня (тело 2) занимает отрезок от $0$ до $15$ см. Ее центр тяжести находится в точке $x_2 = l/2 = 15/2 = 7.5$ см.

Массы каждой части можно выразить через их плотности $\rho$ и объемы $V$. Пусть $S$ — площадь поперечного сечения стержня, она одинакова для обеих частей. Тогда:

Масса алюминиевой части: $m_1 = \rho_{ал} \cdot V_1 = \rho_{ал} \cdot S \cdot l$

Масса стальной части: $m_2 = \rho_{ст} \cdot V_2 = \rho_{ст} \cdot S \cdot l$

Подставим все выражения в формулу для центра тяжести:

$x_{цт} = \frac{(\rho_{ал} S l) \cdot x_1 + (\rho_{ст} S l) \cdot x_2}{\rho_{ал} S l + \rho_{ст} S l}$

Общий множитель $S \cdot l$ в числителе и знаменателе можно сократить, так как он не равен нулю:

$x_{цт} = \frac{\rho_{ал} x_1 + \rho_{ст} x_2}{\rho_{ал} + \rho_{ст}}$

Теперь подставим числовые значения координат $x_1$, $x_2$ и плотностей. Удобно проводить вычисления в сантиметрах, так как все единицы измерения, кроме сантиметров, сократятся.

$x_{цт} = \frac{2700 \cdot (-7.5 \text{ см}) + 7850 \cdot (7.5 \text{ см})}{2700 + 7850}$

Вынесем $7.5$ см за скобки в числителе:

$x_{цт} = \frac{7.5 \text{ см} \cdot (7850 - 2700)}{10550} = \frac{7.5 \text{ см} \cdot 5150}{10550}$

$x_{цт} = \frac{38625 \text{ см}}{10550} \approx 3.66$ см.

Округлим результат до десятых: $x_{цт} \approx 3.7$ см.

Полученное значение является координатой центра тяжести в выбранной нами системе отсчета. Положительный знак означает, что центр тяжести смещен от точки соединения в сторону более плотного материала — стали, что и следовало ожидать.

Таким образом, центр тяжести всего стержня находится на расстоянии примерно 3.7 см от места соединения его частей, внутри стальной половины. Также можно указать положение относительно одного из краев стержня. Например, от свободного края алюминиевой части (который в нашей системе находится в точке -15 см) расстояние до центра тяжести составит $15 \text{ см} + 3.7 \text{ см} = 18.7$ см.

Ответ: центр тяжести стержня находится на расстоянии приблизительно 3.7 см от места соединения его стальной и алюминиевой частей, вглубь стальной части стержня.