Номер 1, страница 47 - гдз по физике 10 класс учебник Закирова, Аширов

1. Бревно длиной 12 м можно уравновесить в горизонтальном положении на подставке, стоящей на расстоянии 3 м от его толстого конца. Если же подставка находится в 6 м от толстого конца, и на тонкий конец сядет рабочий массой 60 кг, то бревно снова будет в равновесии. Определите массу бревна.

Дано:

$L = 12$ м - длина бревна

$l_1 = 3$ м - положение первой точки опоры от толстого конца

$l_2 = 6$ м - положение второй точки опоры от толстого конца

$m_р = 60$ кг - масса рабочего

Все величины представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$M$ - массу бревна.

Решение:

Задача решается с использованием правила моментов для тела в равновесии.

1. Сначала определим положение центра масс бревна. Поскольку бревно не является однородным, его центр масс не находится в геометрическом центре. Из условия задачи, бревно можно уравновесить на подставке, находящейся на расстоянии $l_1 = 3$ м от толстого конца. Это означает, что центр масс бревна находится в этой же точке, так как для равновесия тела на одной опоре, эта опора должна находиться под центром масс. Обозначим расстояние от толстого конца до центра масс как $x_{цм}$.

$x_{цм} = l_1 = 3$ м.

Сила тяжести бревна $P = Mg$ приложена к этой точке.

2. Теперь рассмотрим второй случай. Подставка (точка опоры) перемещена на расстояние $l_2 = 6$ м от толстого конца. На тонкий конец (на расстоянии $L = 12$ м от толстого конца) садится рабочий. Система снова находится в равновесии.

Запишем правило моментов относительно новой точки опоры. Момент силы — это произведение модуля силы на её плечо. Для равновесия, сумма моментов сил, вращающих тело против часовой стрелки, должна быть равна сумме моментов сил, вращающих тело по часовой стрелке.

Относительно точки опоры на расстоянии $l_2 = 6$ м:

- Сила тяжести бревна $P = Mg$ приложена в центре масс ($x_{цм} = 3$ м). Она создает вращающий момент против часовой стрелки. Плечо этой силы равно расстоянию от точки опоры до центра масс:

$d_1 = l_2 - x_{цм} = 6 \text{ м} - 3 \text{ м} = 3$ м.

Момент силы тяжести бревна: $M_1 = P \cdot d_1 = Mg \cdot d_1$.

- Сила тяжести рабочего $P_р = m_р g$ приложена к тонкому концу бревна (на расстоянии $L = 12$ м от толстого конца). Она создает вращающий момент по часовой стрелке. Плечо этой силы равно расстоянию от точки опоры до тонкого конца:

$d_2 = L - l_2 = 12 \text{ м} - 6 \text{ м} = 6$ м.

Момент силы тяжести рабочего: $M_2 = P_р \cdot d_2 = m_р g \cdot d_2$.

Условие равновесия моментов: $M_1 = M_2$.

$Mgd_1 = m_р gd_2$

Сокращаем обе части уравнения на $g$:

$M \cdot d_1 = m_р \cdot d_2$

Подставляем значения плеч:

$M \cdot 3 = 60 \cdot 6$

$3M = 360$

$M = \frac{360}{3}$

$M = 120$ кг.

Ответ: масса бревна равна 120 кг.