Номер 2, страница 47 - гдз по физике 10 класс учебник Закирова, Аширов

2. К концам стержня массой 10 кг и длиной 40 см подвешены грузы массами 40 кг и 10 кг. Где необходимо подпереть стержень, чтобы он находился в равновесии?

Дано:

Масса стержня $m_с = 10$ кг
Длина стержня $L = 40$ см
Масса первого груза $m_1 = 40$ кг
Масса второго груза $m_2 = 10$ кг

$L = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$

Найти:

Положение точки опоры $x$ для равновесия.

Решение:

Для того чтобы стержень находился в равновесии, необходимо, чтобы выполнялось правило моментов: сумма моментов сил, вращающих стержень по часовой стрелке, должна быть равна сумме моментов сил, вращающих его против часовой стрелки. Точка опоры должна совпадать с центром масс всей системы (стержень + грузы).

Расположим стержень вдоль оси $Ox$. Пусть левый конец стержня, к которому подвешен груз массой $m_1=40$ кг, находится в начале координат ($x_1=0$). Тогда правый конец, к которому подвешен груз массой $m_2=10$ кг, будет в точке $x_2=L=0.4$ м. Считая стержень однородным, его центр масс находится посередине, в точке $x_с = L/2 = 0.2$ м. Сила тяжести стержня $F_с = m_с g$ приложена в этой точке.

Пусть $x$ — координата точки опоры, которую необходимо найти. Относительно этой точки и запишем условие равновесия моментов.
Момент силы определяется как произведение силы на плечо (расстояние от оси вращения до линии действия силы): $M = F \cdot d$.

Сила тяжести первого груза $F_1 = m_1 g$ создает вращающий момент против часовой стрелки. Его плечо $d_1 = x - x_1 = x$. Момент $M_1 = F_1 d_1 = m_1 g x$.
Силы тяжести второго груза $F_2 = m_2 g$ и самого стержня $F_с = m_с g$ создают вращающие моменты по часовой стрелке. Их плечи соответственно $d_2 = x_2 - x = L - x$ и $d_с = x_с - x = L/2 - x$.
Моменты этих сил: $M_2 = F_2 d_2 = m_2 g (L - x)$ и $M_с = F_с d_с = m_с g (L/2 - x)$.

Условие равновесия моментов:
$M_1 = M_2 + M_с$
$m_1 g x = m_2 g (L - x) + m_с g (L/2 - x)$

Сократим обе части уравнения на ускорение свободного падения $g$:
$m_1 x = m_2 (L - x) + m_с (L/2 - x)$
$m_1 x = m_2 L - m_2 x + \frac{m_с L}{2} - m_с x$

Соберем все слагаемые с неизвестной $x$ в левой части уравнения:
$m_1 x + m_2 x + m_с x = m_2 L + \frac{m_с L}{2}$
$x(m_1 + m_2 + m_с) = L(m_2 + \frac{m_с}{2})$

Выразим координату точки опоры $x$:
$x = \frac{L(m_2 + \frac{m_с}{2})}{m_1 + m_2 + m_с}$

Подставим числовые значения в СИ:
$x = \frac{0.4 \text{ м} \cdot (10 \text{ кг} + \frac{10 \text{ кг}}{2})}{40 \text{ кг} + 10 \text{ кг} + 10 \text{ кг}} = \frac{0.4 \cdot (10 + 5)}{60} = \frac{0.4 \cdot 15}{60} = \frac{6}{60} = 0.1$ м.

Результат $0.1$ м соответствует $10$ см. Это расстояние отсчитывается от конца стержня, к которому подвешен груз массой 40 кг.

Проверка через центр масс:
Координата центра масс системы находится по формуле:
$x_{цм} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_с x_с}{m_1 + m_2 + m_с} = \frac{40 \cdot 0 + 10 \cdot 0.4 + 10 \cdot 0.2}{40 + 10 + 10} = \frac{0 + 4 + 2}{60} = \frac{6}{60} = 0.1$ м.
Результаты совпадают.

Ответ: Стержень необходимо подпереть на расстоянии 10 см от конца, к которому подвешен груз массой 40 кг.