Номер 4, страница 126 - гдз по физике 10 класс учебник Закирова, Аширов

4. Определите разность уровней ртути в двух сообщающихся капиллярах с диаметром каналов $d = 1 \text{ мм}$ и $d = 2 \text{ мм}$ соответственно.

Дано:

Диаметр первого капилляра, $d_1 = 1 \text{ мм}$
Диаметр второго капилляра, $d_2 = 2 \text{ мм}$
Жидкость – ртуть.

Перевод данных в систему СИ и справочные величины:
$d_1 = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
$d_2 = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
Плотность ртути: $\rho \approx 13600 \text{ кг/м}^3$
Коэффициент поверхностного натяжения ртути: $\sigma \approx 0.47 \text{ Н/м}$
Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Разность уровней ртути, $\Delta h$.

Решение:

Из-за капиллярных явлений уровень жидкости в узких трубках (капиллярах) отличается от уровня в широком сосуде. Высота подъема или опускания жидкости в капилляре описывается формулой Жюрена:
$h = \frac{2 \sigma \cos\theta}{\rho g r}$
где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения жидкости, $\theta$ — краевой угол (угол смачивания), $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, $r$ — радиус капилляра.
Поскольку радиус капилляра связан с его диаметром соотношением $r = d/2$, формулу можно переписать в следующем виде:
$h = \frac{4 \sigma \cos\theta}{\rho g d}$
Ртуть не смачивает стекло, поэтому для нее краевой угол $\theta > 90^\circ$, и, как следствие, $\cos\theta < 0$. Это означает, что в капилляре будет наблюдаться опускание уровня ртути (капиллярная депрессия). Величина опускания уровня для каждого из капилляров определяется как:
$h_1 = \frac{4 \sigma |\cos\theta|}{\rho g d_1}$ и $h_2 = \frac{4 \sigma |\cos\theta|}{\rho g d_2}$
В условии задачи не указан краевой угол. В таких случаях для ртути в учебных задачах часто принимают условие полного несмачивания, то есть $\theta = 180^\circ$, и, следовательно, $|\cos\theta| = 1$.
Разность уровней ртути в двух сообщающихся капиллярах будет равна разности величин опускания уровня в каждом из них. Так как диаметр первого капилляра меньше ($d_1 < d_2$), опускание уровня в нем будет больше ($h_1 > h_2$).
$\Delta h = h_1 - h_2 = \frac{4 \sigma |\cos\theta|}{\rho g d_1} - \frac{4 \sigma |\cos\theta|}{\rho g d_2}$
Вынесем общий множитель за скобки для упрощения расчета:
$\Delta h = \frac{4 \sigma |\cos\theta|}{\rho g} \left(\frac{1}{d_1} - \frac{1}{d_2}\right)$
Подставим численные значения, приняв $|\cos\theta| = 1$:
$\Delta h = \frac{4 \cdot 0.47 \text{ Н/м}}{13600 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} \left(\frac{1}{1 \cdot 10^{-3} \text{ м}} - \frac{1}{2 \cdot 10^{-3} \text{ м}}\right)$
$\Delta h = \frac{1.88}{133280} \text{ м}^2 \cdot (1000 \text{ м}^{-1} - 500 \text{ м}^{-1})$
$\Delta h \approx 1.41056 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2 \cdot 500 \text{ м}^{-1}$
$\Delta h \approx 7.0528 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
Переведем полученный результат в миллиметры для наглядности:
$\Delta h \approx 7.05 \text{ мм}$.

Ответ: разность уровней ртути в капиллярах составляет примерно $7.05 \text{ мм}$.